( K») 

 trouvé l:i lormiilo de M. Kiiininer d'une innnière très- 

 simple, dans le second vtdiime de son Cours d'anali/se (*). 



Fîevenonsà la setoiidc série de Ijinet. I.a belle démon- 

 stration de Caiicliy re|K»sant snr des considérations assez 

 élevées, M.Genocchi s'est attaché, dans une note que l'Aca- 

 démie a insérée dans ses recueils (**), à fonder cette série 

 sur des principes élémentaires, en se restreignant au cas 

 où l'argument x est un nombre entier : en d'autres termes, 

 M. Genocchi s'est proposé de développer en série conver- 

 gente la somme des logarithmes népériens des x — 1 pre- 

 miers nombres entiers. Il y est parvenu par l'iiUégration 

 aux différences finies d'une certaine équation, et a retrouvé 

 la série de Binet, avec l'expression, sous forme d'une 

 somme d'intégrales délinies, de l'erreur comijîise en arrê- 

 tant la série au n""' terme. Mais M. Genocchi s'étant servi 

 d'une intégration indéfinie, W en est résulté une erreur dans 

 l'évaluation de la constante, ou, si l'on veut, une certaine 

 indétermination dans le sens que l'on doit attacher à sa 

 formule :car, des deux termes sous le signe :;: que ren- 

 ferme celle-ci, le premier doit être pris entre les limites 

 1 et X, le second entre les limites oo et or. 



C'est ce que M. De Tilly a remarqué avec beaucoup de 

 justesse, et c'est pour rectifier la formule de M. Genocchi 

 qu'il remplace l'intégration de celui-ci par une simple som- 

 mation. S'appuyant sur des considérations ingénieuses et 

 précises, il réussit à déterminer la valeur d'une con- 

 stante qui figure dans sa formule sous forme de série, et 

 il obtient ain^i l'expression exacte du reste de la série de 



(•) Kuinmer, Beilrag zur Théorie ilcr Function P, Journ. de Crelle, 

 t. XXXV. p. 1. — Schlômilch, Compendium der hoh Anal., l. Il, p. 255. 



(*') liulletins de C Académie roijale de Belgique , t. XXII, 2"="= pnrt., 

 p. 392. 



