relise celto throrio dans son beau mémoire (*) sur les in- 

 l('}j[ralos cuit rifiincs. Plus lard, Scliaar, ayaul donné une 

 forme nonv«'Ile à rintt'j^raie délinic qui icprésenle u (x), 

 déduisit de là la formule de Slirling, avec l'expression du 

 7'este au moyen d'une inléj^rale délinie, et il en tira di- 

 verses consécjueiues remarquables. Ainsi, il résolut cette 

 question : A quel terme faut-il arrêter la série de Stirling, 

 X étant donné, pour obtenir la. plus grande approxima- 

 tion (*'). Le travail de Scbaar fut perfectionné et complété 

 par un jeum^ géomètre belge, Henri Limbourg, trop tôt 

 enlevé à la science; sa dissertation inaugurale est une des 

 bonnes monograpbies que l'on possède sur l'intégrale eu- 

 lérienne r (a) (*"). 



Si utile que fût la formule de Stirling, elle ne laissait 

 pas moins désirer quelque méthode qui fournît le dévelop- 

 pement de la fonction n (x) en série toujours convergente, 

 et ce but a été atteint de diverses manières. M. Gudermann, 

 dans le tome XXIX du Journal de Crelle ("**'), est parvenu 

 à une série convergente pour toute valeur positive de x, 

 série dont les termes dépendent du logarithme d'une fonc- 

 tion rationnelle de x. Il a tiré cette formule d'une autre, 

 dont les termes sont eux-mêmes composés de séries infi- 

 nies, et qui avait été donnée antérieurement par Féaux; la 



C) Sur la théorie des intégrales définies singulières, etc., Exercices, 

 d'analyse, t. II, p. 305. 



(**) Mém. cour, de l'Acad. de Belgique, t. XXII, pp. 7 fl 1:2. 



('*•) Théorie de ta fonction F, Gand 1859, iii-8". — V. aussi Serivl, 

 ouvr. cité, pp. 200 et 234; on peut consulter encore, sur la lorinulc de 

 Slirling: Liou ville, /oiir». de math., t. XVII. — Malinslen, you/vi.rfe Crelle, 

 t. XXXV, p. cjo. — Bauer, J. de Crelle, l. LVII, p. 256. — 0. IJonnet, 

 Comptes rendus, l. L, p. 863. 



{""") Addilamenlum ad fonctionis T [a) theoriam , iovRy. de ("belle, 

 t XXIX, p. 209. 1845. 



