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(le Uuiiirll»' 011 (léiliiit, au movcii de deux intégrations 

 successives, une série converjj;enle (*), représentant 

 I. r (jT » I), qui équivaut à l'expression sous lornie de 

 produit iniini découverte par Euler, expression (pie 

 Gauss avait choisie, comme on sait, pour définition de 

 la Ibnction r (.r). I.a même relation (A) conduit facile- 

 ment à la détermination des valeurs des dérivées succes- 

 siveg de I. r (x -+- I) pour x = 0, et par suite , d'après la 

 formule deMaclaurin, au développement de la fonction 

 I. r (,} -f- J) suivant les puissances ascendantes de x, la 

 variahie étant supposée comprise entre — 1 et h- 1 (**). 



Ce développement a pour coefïicienls les sommes des 

 puissances négatives de même degré des nombres entiers, 

 et Legendre, dans le but d'en augmenter la convergence, 

 lui a fait subir diverses transformations ('"). Mais ces 

 diverses séries sont d'un faible usage dans l'évaluation des 

 intégrales eulériennes, et les efforts des géomètres se sont 

 portés spécialement sur un autre point. 



Lorsque l'on est parvenu à dégager de la fonction 

 1. r (x) les termes qui deviennent infinis en même temps 

 que X, il reste un terme constant, dont la détermination 

 a été traitée d'une manière ingénieuse par Cauchy (****), 

 Schaar (**"'), Stern (*'**") et Schlômilch (*"*"'); et une 



C) V. Serret , Calcul dl/[., t. II, p. 180; G. -F. Moyer, Vorlesunrjen liber 

 die Théorie der beslimmlen Intégrale, p. 155. 



('*) Legendre, Traité des fondions elliptiques et des intégrales eulé- 

 riennes, t. II, p. iô\. V. Serret el Meyer, loc cil. 



(***) Ibid. — Schlômilch, Anahjlisclie Studien , t. I, p. 44. 



(***') Exercices d'analyse el de phys.-malh., t. II, p. 384. 



(*'***) Mém. sur les intégrales eulériennes , Mém. cour, de l'Acad. oe 

 Belgique, l. XXM, p. 6. 



(•*••**) Beitrdge zur Théorie der Euler' schcn lntegrale,\. Meyer, p. Iô4. 



(•••"••) Analytische Studien, t. I, p. 55. — Compendium der hoh. 

 Analysis, t. Il, p. 249. 



