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 Nota. — II est facile d'élendre ce résultai aux surfaces 

 d'ordre supérieur. 



Théorème. — Si une surface d'ordre m a trois points 

 en ligne droite multiples d'ordre 



et tels que : 



a -4- [3 -t- r = îH -+- 2r, 



ou 



a -t- p -+- 9/ = m-4- 2^" -I- I , 



la droite qui les joint est multiple d'ordre r ou d'ordre 

 k + 1. ^ 



Nota. — Il est très-facile de généraliser ce .résultat en 

 supposant quatre, cinq, etc., etc. points en ligne droite. 



Théorème. — Les quatre-vingt-neuf conditions qui 

 expriment qu'une surface du sixième ordre a quatre points 

 multiples du quatrième ordre et passe par neuf points 

 simples, se réduisent à quatre-vingt-trois. 



Nota. — Nous sommes en possession d'une infinité de 

 théorèmes semblables (*). 



(") Leur découverte nous a été suggérée , il y a déjà plus de deux ans, 

 par certaines contradictions rencontrées dans l'étude des surfaces à points 

 multiples, contradictions qui n'existaient plus si ces théorèmes avaient 

 lieu. Confiant dans nos raisonnements, nous n'avions pas hésité à commu- 

 niquer ces théorèmes, comme exacts, à M. Catalan, avec la pensée, tou- 

 tefois, que leur démonstration rigoureuse devait appartenir au domaine 

 de l'analyse et non à la géométrie pure. Cette croyance n'a pas été de 

 longue durée : trois jours après, une démonstration géométrique aussi 

 simple que rigoureuse se présentait à notre esprit. 



