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 suhlilité, mais il nous paraît dilUcile d'objecter désormais 

 quelque chose de sérieux contre les principes sur lesquels 

 elle repose. Notre but sera d'ailleurs atteints! nous rame- 

 nons l'attention desgéomètres sur un sujet plein d'intérêt et 

 sur un mémoire trop peu connu , et si nous provoquons des 

 objections qu'il sera, croyons-nous, facile de résoudre. » 



Les objections sont venues. La plupart ont été levées 

 facilement, mais l'une d'elles, en ramenant mon attention 

 sur certaines parties de ma démonstration, m'en a fait voir 

 le point faible, et de cet examen résulte, non-seulement la 

 nécessité de restrictions importantes dans les conclusions, 

 mais, si je ne me trompe, l'obligation de remanier sérieu- 

 sement certains points fondamentaux de l'analyse que l'on 

 regardait comme parfaitement établis. L'importance de la 

 question, qui touche aux bases du calcul différentiel, 

 m'oblige à entrer dans quelques détails. 



Lorsqu'on se propose d'établir l'existence de la déri- 

 vée dans les fonctions continues, on examine successive- 

 ment un certain nombre d'hypothèses qui excluent cette 

 existence, et l'on prouve qu'elles doivent être rejetées. Par 

 exemple, pour démontrer que la dérivée d'une fonction y 

 de X ne peut être infinie pour toutes les valeurs de x com- 

 prises dans un intervalle donné [x^, X), ou même pour des 

 valeurs de x se succédant sans intervalle assignable, on 

 admet, d'abord, que le rapport ^ de l'accroissement de y 

 à celui de x croisse sans limite, lorsque h tend vers zéro, 

 pour toutes ces valeurs successives de la variable. On con- 

 çoit alors que la variable passe de iCo à X par une suite 

 d'accroissements /i„, /i,,... A„_,, assez petits pour que les 

 rapports correspondants 



/to' /*, ' ' /<„ , 



