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Mais il y a une autre hypothèse, que je n'ai point consi- 

 dérée : c'est celle où la fonction h' convergerait vers zéro , 

 par exemple, pour les valeurs de x exprimées par des frac- 

 tions d'une certaine forme dont les deux termes croîtraient 

 indéliniment, valeurs qui, évidemment, se succèdent sans 

 intervalle assignable. 



Si une telle hypothèse peut se réaliser, on conçoit sans 

 peine que le raisonnement rappelé plus haut cesse d'être 

 concluant, car il n'est plus permis d'affirmer que, le nom- 

 bre n croissant indéfiniment, les rapports 



fc(, k^ ""il— 1 



/io' /'i ' ' K-i 



finiront toujours par surpasser /ous la quantité donnée R, 

 si grande que soit celle-ci. En effet, à mesure que les ac- 

 croissements /io, /«i..., A,. 1 tendent vers zéro et que leur 

 nombre n croît indéfiniment, de nouvelles valeurs de x 

 viennent s'intercaler entre les valeurs primitives en se res- 

 serrant de plus en plus, et les rapports ,- correspondant à 

 ces nouvelles valeurs de x ne dépasseront à leur tour la 

 limite R que si, pour chacune de ces valeurs, on a h < h'. 

 Mais si, comme on l'a supposé, la fonction h' décroît de 

 plus en plus et indéfiniment pour ces valeurs de x de plus 

 en plus rapprochées, on conçoit, si petits que deviennent 

 les accroissements /i,que la condition h<h' ne soil jamais 

 réalisée pour toutes les valeurs intermédiaires dex, et qu'il 

 y ail toujours un nombre fini, et même indéliniment crois 

 sant, de rapports \ qui restent inférieurs à R. 

 Ainsi , supposons 



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