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 D'où il résulte immcdiatemenl que le rapport 



/•(x -+- h) - f{x) 



croît au-dessus de toute limite lorsque h converge vers 

 zéro. Ainsi la l'onction f{x) joint de la propriété énoncée. 



On peut d'aillein-s vérifier, sur cet exemple, les explica- 

 tions données plus haut. Ainsi, la quantité 



r' ]/h 



linit toujours par surpasser toute grandeur donnée K pour 

 des valeurs de h suffisamment petites, mais les valeurs de h 

 qui remplissent cette condition seront d'autant plus petites, 

 R étant donné, que m sera plus grand. 



On verrait de même que, si x passe de la valeur zéro à 

 lavaleurl par une suite d'accroissements égaux à — et ten- 

 dant vers zéro lorsque m tend vers l'iulini, quoique, pour 

 chacune des valeurs de x ainsi obtenues, la limite du rap- 

 ports- soit infinie, on ne pourra faire en sorte que tous 

 les rapports r surpassent une limite arbitraire R,si grand 

 que l'on prenne le nombre m. 



Il est à peine nécessaire de faire observer que les mêmes 

 objections s'appliquent aux autres parties de la démonstra- 

 tion concernant l'existence 'de la dérivée ; par exemple, à 

 celle où l'on établit que la dérivée ne saurait être constam- 

 ment nulle sans que la fonction se réduise à^une constante. 

 Une révision de toute cette^tbéorie sera_donc nécessaire, 

 pour fixer nettement les caractères dislinctifs des fonc- 

 tions auxquelles le théorème est applicable, ainsi que pour 



