( 715 ) 

 le nombre eiilierm pouvant croître indélininienl. Si, [lour 

 tontes les valenrs de x de la forme ^ , p étant un nombre 

 premier quelconque, on avait h' = -r— -, il serait impos- 

 sible, quelque grand que soit vi.do laire en sorte que, pour 

 toutes les valeurs de x comprises entre zéro et l'unité, le rap- 

 port ^ surpasse R. 



On le voit donc, la démonstration admet un cas d'excep- 

 tion possible, celui où la quantité que nous avons désignée 

 par II' pourrait décroître indéfiniment pour certaines va- 

 leurs de X se succédant sans intervalle assignable. Peut-il 

 exister des fonctions dans lesquelles cette liypothèse se 

 réaliserait? L'exemple suivant, qui m'a été communiqué 

 par M. Schwarz, professeur à l'école polytecbnique fédérale 

 de Zurich, et qui a été le point de départ des réflexions 

 qui précèdent, répond à cette question : 



Désignons par E(x) le plus grand nombre entier com- 

 pris dans la variable pos//ïre jc, et par r{x) une fonction 

 définie par l'équation 



o{x) = E (x) -h \/ x — E [x), 



le radical étant pris positivement. On reconnaît que cette 



fonction 9 ( a ) est toujours 

 réelle, positive, continue, et 

 constamment croissante avec 

 la variable. La courbe qui la 

 représente se compose d'une 

 suite indéfinie d'arcs de para- 

 bole égaux, et à chaque valeur 



entière de X répond un point 



^ s -^ anguleux, pour lequel la va- 

 leur de (f' [x) correspondante à h positif est infinie. Enfin, 



