12 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



^-^_)_ l^ c'est-à-dire / et x; ce qui donne les équations définitives 



(5) 





Ce sont celles de M. Allievi, avec la valeur de lu célérité ou vitesse de pro- 

 pagation oj qui résulte de (2). 



IV. Mais reconnaissons qu'elles subsistent, quand la colonne liquide est 

 déjà, au moment où d'assez rapides changements de la pression l'atteiguent 

 près d'une section ce = o, en train de couler par filets rectilignes et paral- 

 lèles iitégalement rapides, animés de vitesses îf„ comparables à celles que 

 vont produire ces changements et, par conséquent, toujours très petites à 

 côté de la célérité w. C'est ce qui arrive, par exemjjle, quand la longueur 

 du tuyau est suffisante i)our que les [jetits froltements des filets et de la 

 paroi, quoique négligeables sur des parcours x comme ceux que nous con- 

 sidérons ici, aient établi, concurremment avec une petite /je/z/e motrice ainsi 

 neutralisée par eux, un régime uniforme dans la région des x positifs. 



Alors la première équation d'Euler, 11' = — - -£.^ est applicable aux 



mouvements ondulatoires survenus assez vite; car les frottements et la petite 

 composante de la pesanteur suivant les x (ou le petit décroissement ana- 

 logue de la pression) y sont relativement insensibles. Or, les vitesses engen- 

 drées Il — u„ étant encore censées principalement longitudinales, la pres- 

 sion/? et, par suite, la densité p, continuent à ne dépendre guère que de x 

 et de t. Donc l'accélération u' est encore commune à toute une section u et . 

 même (vu la rapidité de la propagation comparativement à la différence des 

 parcours e/^ec^yi jusqu'à l'instant t), commune à tout le fluide d'une région 

 de longueur modérée. Les accroissements u — u„ de vitesse sont, par suite, 

 pareils pour tout ce fluide et égaux à leur /«oye/ine, U — Uo (à très peu près), 

 dont la dérivée en /, prise sur place, expnme, dès lors, sensiblement u' . 

 Ainsi, la première équation d'Euler devient 



,/>\ dU I dp ,, ^ , , s 1 dp 



(6) 777=-p^-= (a très peu près) - - ^. 



Faisons, d'autre part, dans l'équation usuelle -j~ -\ '-^^ = o de la 



conservation des masses, p = p J i -1- ^ j et a = aJ i -h ^- /' )' formules 

 dont la première est évidente et dont la seconde résulte de (i). Il viendra 



