SÉANCE DU 3 JUILLET KjoS. 7 



Or il V a r périodes distinctes de (4) qui, d'après le théorème rappelé 

 au n° 1, doivetU être des polynômes en y. Mais on voit de suite que toutes les 

 périodes de (4) s'annulent pour r = ^ (d'après le degré de Q). Ces r po- 

 lynômes sont donc identiquement nuls, et l'ensemble des intégrales (4) 

 n'a donc que ip — r périodes distinctes ;iu plus. 



Nous pouvons alors appliquer le ihcorème du n" 2, ce qui donne 



l'inégalité 



■2.p — r>2{p - w„_3), 

 c'est-à-dire 



(5) r<2a),„_;,. 



Telle est l'inégalité que je voulais établir, et qui appelle une remarque 

 importante. 



4. M. Castelnuovo a récemment élubli la relation très remarquable 



(G) /•= 2 (/7„ -/>„), 



et ce résultat a été retrouvé de manières différentes par M. Severi et par 

 moi (voir Comptes rendus, 16 janvier, 2'3 janvier et 3 avril igoo). Or la 

 comparaison de (5) et (G) conduit à 



Mais comme, d'autre part, d'après (3) pg — />„ n'est pas inférieur à fo,„ .j, 

 il faut conclure à l'égalité inattendue 



(7) • Pg-Pn^^^m-Z- 



Ainsi tous les u>/,{h^m — o.) sont nuls. 



Cette relation m'a étonné, car je croyais qu'il y avait des surfaces pour 

 lesquelles tous ces co n'étaient pas nuls, comme on j)ouvait le présumer 

 d'après les Mémoires de M. Enriques. Aussi ai-je communiqué mon résul- 

 tat à l'éminent géomèlre; mais il m'a l'épondu qu'il ne possédait pas 

 d'exemple de surface pour laquelle on ait 



w/, :^ o{h-in — 2), 



quoiqu'il en eût autrefois cherché. On voit que c'est par un détour smgu- 

 lier que j'arrive à la relation (7); il serait à désirer qu'on la confirmât par 

 une démonstration directe purement géométrique. 



5. La surface /"possède 2co,„_3 intégrales de différentielles totales de iecoWe 



