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OÙ Q(^x, y, :■) est un polynôme s'aniiiilant pour la courbe double de la 

 surface, a ses périodes fondions de y satisfaisant à une équation différen- 

 tielle linéaire E d'ordre zp, dont le groupe ne dépend que de la surface. 

 J'ai démontré antérieurement à son sujet la pro|)riété fondamentale que 

 la courbe (i) entre a- et z- possède r cycles distincts donnant des périodes 

 gui sont des polynômes en y si l'on désigne par rie nombre des intégrales 

 de différentielles totales distinctes de seconde es[)èce de la surface pro- 

 posée. La réciproque est exacte. Ces /■ cycles sont d'ailleurs r cycles 

 linéaires distincts de la surface algébrique/". 



2. Ces propriétés rappelées, j'énonce encore un théorème facile à 

 établir sur les intégrales abéliennes de première espèce d'une courbe algé- 

 brique de genre p. Soient 



I., h I? ((/<p), 



q intégrales de première espèce distinctes d'une telle courbe : le nombre 

 des périodes arithmétiquement distinctes d'une combinaison linéaire arbi- 

 traire de ces intégrales ne peut être inférieur à iq. 



3. Revenons maintenant à la surface (i). Dans sa théorie du genre 

 numérique p„ d'une surface, M. Enriques désigne par 



w^ (h^m — 3) 



le défaut du système de courbes découpées sur un plan arbitraire par les 

 surfaces adjointes à /d'ordre /t; à partir d'une certaine valeur de h, on a 

 co^^ o. M. Enriques a montré qu'en désignant |>ar p^ le genre géométrique 

 et par/>„ le genre numérique de la surface /", on a , 



(3) P.s — P"=^'"/" 



la sommation étant étendue depuis h ^m — 3 jusqu'au moment où w^ est 

 nul. J'ai reproduit sa démonstration dans ma Théorie des fonction» algé- 

 briques de deux variables (t. II, p. 88). 



En désignant, comme habituellement, par^ le genre d'une section plane 

 arbitraire de la surface, nous pourrons évidemment former p — o,„ 3 inté- 

 grales distinctes de première espèce de la courbe (1) entre iv et z, qui 

 seront de la forme 



(4) j jr: — (/l=:i, 2, . ..,p- W„,_,), 

 où Q^ = o est une adjointe d'ordre //z — 3 de la surface. 



