SÉANCE DU lO JUILLET igoS, lOI 



3. Pour rechercher les intégrales entières la méthode employée consiste, 

 dans son esprit général, à exprimer que l'intégrale convient pour une solu- 

 tion particulière du système différentiel et pour toutes les solutions infini- 

 ment voisines. 



En prenant comme nouvelles variables, 



fi—p-i-qi, f^^j} — (ji, Zi = y-^-iy', z.,z=y — iy\ 



j'ai choisi comme solution particulière, soit (o), 



ji = -i = y" = o, y, = rl :2==l /• = /■». 



Je désignerai par(I) la solution infiniment voisine de (o), par (II) la solution infi- 

 niment voisine de (I), .... 



L'intégrale cherchée I étant ordonnée suivant les puissances croissantes de y,,;,, y", 



I=/o+/l-t-/2-t----^/«, 



je désignerai par !„, 1,, l.^, ... les parties du développement de I limité aux approxi- 

 mations correspondant aux solutions (o), (I), (II ), ... 



1 = lo H- I, + 12+ 



Les équations exprimant que I est une intégrale sont 



(a) lo = const., I,=const., l2i=const., 



ou bien 

 , /afio dlj d\^ 



^^) 177=°' ^=°' -ïïï='' 



Les équations {a) constituent des relations algébriques liant les solutions les plus 

 générales (o), (I), (II), .... Les équations (6) simplifiées constituent dans les sys- 

 tèmes (o),(I) seulement des équations aux dérivées partielles définissant successive- 

 ment/„, /,,/,, ...,/„. 



Les intégrales classiques /(,, h^, li^ fournissent trois intégrales H,, Hj, H, des sys- 

 tèmes (o), (I). Ces intégrales permettent d'éliminer trois variables des équations (6) 

 simplifiées en considérant H,, Hj, H3, soit comme des fonctions de variables, soit 

 comme des constantes indépendantes. 



En considérant IIj et II3 comme paramétres, nous écrirons, en général, que les équa- 

 tions {a) ou (Z)) sont satisfaites : 1° pour les valeurs nulles des paramètres; 2° pour 

 les valeurs différentes de zéro. 



Nous avons observé, de plus, que l'on peut toujours supposer que le premier terme 

 de l'intégrale ordonnée n'est pas unitjuement une fonction de Hj, Hj, H3. 



4. Pour éviter l'étude de transcendantes très compliquées, nous avons, 



