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dénombrable de segments de droites parallèles aux axes. En ajoutant les 

 points limites, l'ensemble formé contiendra notre ensemble complexe. 

 D'autre part, on démontre aisément que l'ensemble ainsi formé conslitue 

 une courbe simple (pour plus de détail'^, voir Osgood, loc. cit.). 



On a donc le théorème : Tout ensemble discontinu, situé dans un plan, 

 fait partie d'une courbe continue sans point multiple, située dans ce plan. 



Le théorème reste exact pour des dimensions quelconques ; on le démontre 

 en raisonnant de tz à ti + i ; ou aussi directement, par une mélhoie tout 

 analogue à celle appliquée au cas de l'ensemble plan. 



Il suit de notre théorème qu'aie point de vue de /'analysis sitiis, tous les 

 ensembles parfaits discontinus sont équivalents {homœomorphes ) . 



2. Cherchons à attribuer à chaque ensemble E de points un nombre de 

 dimensions, c'est-à-dire un nombre ^/(E) qui satisfasse aux conditions 

 suivantes : 



i" Si l'ensemble E fait partie de l'ensemble E', r/(E)^^(E'); 



2° L'ensemble (E,,E2) étant l'ensemble des points contenus au moins 

 dans l'un des ensembles E,, Ej, on n'a pas en même temps 



r/(E,,E,)>r/(E,) et ./( E, , E,) > rf(E,) ; 



3° L'ensemble complexe formé de deux ensembles de dimensions m et n 

 a la dimension tn -\- n\ 



4° La dimension d'un ensemble reste invariante, si l'on v applique une 

 transformation continue biunivoque de l'espace; 



5" La dimension du segment (o, i) est i. 



Ce problème des dimensions peut être résolu. On appellera ensemble simple 

 à n dimensions chaque ensemble qui peut être transformé par une transfor- 

 mation continue biunivoque de l'espace de manière à devenir un rectangle 

 à n dimensions, l'ensemble complexe de n segments de droites. Un point 

 unique sera ensemble simple à dimension o. Cette convention faite, on 

 attribuera à l'ensendile E le nombre de dimensions n, s'il contient des 

 parties partout denses sur des ensembles simples à n dimensions et ne 

 contient aucune partie partout dense sur un ensemble simple à /z + i dimen- 

 sions. 



On vérifie aisément que les conventions faites répondent à tous les pos- 

 tulats ci-dessus. Mais on ne snit pas s'il n'y a d'autres conventions y réj)oii- 

 dant de même. La solution de cette question comporte bien des difficultéi ; 

 les méthodes employées jusqu'ici pour traiter les ensembles de ])oints n'y 



