SÉANCE DU 23 OCTOBRE ipoS. 65 I 



Mais, ea se servant de la notion d'une courbe continue sans point mul- 

 lijjle (brièvement courbe simple), introduite en Analyse par M. Jordan, on 

 parvient à un théorème plus utile qui éclaircira la topologie des ensembles 

 discontinus. 



Envisageons un ensemble plan Ji^continu E. Avec son dérivé, il forme un ensemble 

 discontinu fermé. Projetons celui-ci sur deux axes, par exemple, rectangulaires. Les 

 deux projections, comme l'a montré M. BiiiTe(An/iali di Math.. 3= série, t. III, p. 94), 

 seront aussi des ensembles fermés discontinus. Chacun d'eux peut être complété par 

 addition de points, de manière à devenir ensemble parfait discontinu. L'ensemble de 

 tous les points dont les projections appartiennent à ces deux ensembles parfaits est 

 un ensemble plan parfait discontinu. Nous allons montrer qu'il y a une courbe simple, 

 au sens de M. Jordan, contenant cet ensemble complexe, et contenant, a forliori. 

 l'ensemble E. 



La construction de la courbe repose sur la geniralisation d'une idée de M. Osgood 

 {Transact. of l fie Amer. math. Soc, 1908, p. 107; voir aussi Lebesgue, Bull, de la 

 Soc. math., 1908, p. 200). Parmi les segments des deux axes, contenant tout à l'ait les 

 ensembles parfaits, il y en a deu\ qui sont pour leurs axes les plus petits; on les dé- 

 signera par ab et ÂB. Les deux ensembles étant parfaits et discontinus, leurs en- 

 sembles complémentaires constituent sur chacun des axes un ensemble dénombrable 

 d'intervalles, partout deux sur son segment; deux intervalles du même axe ne se 

 touchent pas. Les deux ensembles dénombrables peuvent être ordonnés de bien des ma- 

 nières; on se fixera pour chacun d'eux un arrangement du type 10. Dans cet arrange- 

 ment, il y a pour chacun d'eux un intervalle qui est le premier, et un qui est le second ; 

 on les désignera par 12, 34 et I II, III IV de manière que les points a, i, 2, 3, 4, b et 

 aussi A, I, II, III, IV, B forment des suites. On désignera par {m, n) le point ayant 

 les points m et n pour projections. 



Voulant donc construire la courbe, on prend pour première approximation la ligne 



(a. A) (I, I) (2, 1) (3, A) (4, A ) (6, 1) (/a II) (4, III) (3, III) 

 (2, II) (., II) {a, III) («, IV) (I, B) (2, B) (3, IV) (4, IV) (6, B), 



formée de segments de droites parallèles aux axes ou diagonales à des rectangles ayant 

 pour sommets des points de l'ensemble complexe. Tout point de l'ensemble complexe 

 appartient à un des rectangles (y compris les frontières), dont les diagonales font partie 

 de la ligne brisée. 



Pour avoir une seconde approximation, on conserve les segments de droites paral- 

 lèles aux axes, mais on remplace les diagonales par des lignes brisées, ayant les mêmes 

 extrémités que les diagonales et construites dans les rectangles, dont elles remplacent 

 les diagonales, de la même manière que nous l'avons fait dans le rectangle 



{«,A)(«, B)(6,B)(ft,A). 

 Ainsi, par une suite dénombrable d'opérations on définit un ensemble 



