SÉANCE DU l3 NOVEMBRE ipoS. ^53 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d'une fonction 

 analytique uniforme enproduit infini, Note de M. Zoretti, présentée 

 par M, Appell, 



Les travaux de i\lM. Runge et Painlevé ont élucidé d'une fnçon com- 

 plète la question du développement en série de polynômes d'une fonction 

 analytique uniforme. Quelque com|)liqnces que soient les singularités de 

 la fonction donnée, on peut toujours former une série de polynômes qui 

 la représente dans tout son domaine d'existence. 



Il peut être intéressant de démontrer que l'on peut former, par un pro- 

 cédé tout à fait analogue, un dévelop[)euient jouissnnt de la même pro- 

 priété, mais ce développement étant un produit infini de facteurs, dont la 

 forme généralise le facteur primaire de Weierstrass comme le développe- 

 ment en série de polynômes généralise la série entière. C'est ce que je me 

 propose d'indiquer. La question ne présente d'ailleurs pas une bien grande 

 difficulté, la marche suivie étant celle même de M. Painlevé dans la dé- 

 monstration du théorème cité plus haut. 



Considérons une fonction analytique/(^) régulière el uniforme dans le domaine 

 extérieur à un cercle C de centre ^ =: a et intérieur à un contour simple r envelop- 

 pant C. Au moyen des zéros de/(c), situés dans ce domaine D, je forme un produit 

 de facteurs primaires P(-3). Ceci posé, on peut démontrer que, dans D, f{z) peut se 

 mettre sous la forme 



k étant un entier positif ou négatif, '^{z) une série ordonnée suivant les puissances 

 négatives de- — a et <}/(:;) une fonction régulière qui, dans D, ne devient ni nulle ni 

 infinie. 



De même, si l'on appelle D le domaine extérieur à n cercles Cj, C^, ..., C„ de 

 centres «,, a.,, . . ., a„ et intérieur à un contour r qui enveloppe tous ces cercles, la 

 fonction f{z), régulière dans D, pourra s'y écrire 



/(z) = P(-) (; — fif, )^-.(; — a,y;. ..(z — a„)*™e?.+?.+-+?.^(^), 



P(=) étant un produit de facteurs primaires; A,, k.,, ... des entiers positifs ou non; 

 tp, des séries ordonnées suivant les puissances négatives de ; — a, et | une fonction 

 régulière non nulle dans D. 



Ceci admis, si l'on considère une fonction /(;) à singularités quelconques, on 

 pourra, en se donnant d'avance un nombre p d'ailleurs arbitraire, enfermer dans un 

 nombre fini de cercles de rayon p toutes celles de ces singularités qui sont intérieures 

 C. R., 1905, 2" Semestre. (T. CXLl, N° 20.) 99 



