ySa ACADÉMIE DES SCJENCES. 



de trois bisécantes communes (voir notre Étude de quelques surfaces algé- 

 briques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre, Ganrl, 

 Hoste, et Paris, Gauthier-Villars, 1902; Chap. TTI) représentée par 



(0 



a.,a^ 



b- rh" 



est un cas particulier des congruences (I) et (IV) ci-dessus. Elle admet 

 elle-même pour cas particuliers la gerbe de Th. Reye (cubiques par cinq 

 points) et celle de R. Sturm (cubiques ayant un même tétraèdre d'oscula- 

 tion). 



Dans chacune des six congruences précédentes on trouve facilement le lieu des 

 points X par où passent 00' variétés du système. Pour a? = 4, on trouve ainsi des direc- 

 trices d'une congruence de cubiques; par exemple, pour la congruence (III), ces direc- 

 trices sont une sextique gauche de genre 3 et deux cubiques gauches. Pour c?=:3, 

 on trouve les points singuliers des congruences de triangles. 



Dans chaque congruence de triangles, on peut trouver les 00* coniques r qui admettent 

 un de ces triangles pour triangle conjugué. Il y a en général des coniques r telles que 

 chacune admet pour triangles conjugués ce' triangles de la congruence. Pour que tous 

 les triangles de la congruence soient conjugués par rapport à une même conique T, il 

 faut des relations particulières entre les formes définissant le système. Ce fait se pré- 

 sente pour la congruence de triangles définie par les équations (i) où les formes 

 «XI ^xi • • • sont ternaires, quand les deux triangles {a a' a") et {bb' b") sont homolo- 

 giques. Par projection on trouve ce théorème : les cubiques gauches ayant en commun 

 deux points et trois bisécantes percent un plan t. aux sommets d'une congruence de 

 triangles; ceux-ci seront conjugués par rapport à une même conique quand les trois 

 bisécantes sont projetées des deux points fixes sur le plan - suivant deux triangles 

 homologiques; les plans -jouissant de cette propriété enveloppent une quadrique. Le 

 cas particulier relatif à la gerbe de Reye est connu. 



Possédant une classification des congruences linéaires de cubiques, on 

 peut chercher quelle place y occupe un système particulier défini géomé- 

 triquement. Par exemple, les cubiques à cinq bisécantes communes se 

 représentent par une matrice où les éléments d'une ligne sont fonctions 

 cubiques de a,, «2, les éléments de l'autre fonction de a,, ag, et où les élé- 

 ments d'une même colonne ne diffèrent que par le nom des variables. On 

 peut arrivera une autre représentation de celte congruence : les paramètres 

 (X,, a^, a, ne figurent plus qu'à la première puissance, mais les courbes sont 

 accompagnées toutes d'un même nombre de droites fixes. 



