SÉANCE DU 6 NOVEMBRE IQoS. 709 



fonction de p d'entre elles, on pourra éliminer toutes celles de ces quan- 

 tités qui entrent dans les expressions <](> /„„ ^„,+,, ..., ^"„,+/,. et l'on ob- 

 tiendra une relation de la forme 



(2) A^-„4- BX-„,^, -i- . . . -1- \.k,n+p = o 



où A, B, .. ., L sont des polynômes entiers en m, dépendant en outre des 

 cofficienls /„, /,, ...,l^ du polynôme V,;.,;. La fonction génératrice de k„^ 

 satisfera donc h une équation difierentielle (F), linéaire, d'ordre égal au 

 degré des polynômes A, B, . . ., L par rapport à m, et que l'on pourra éga- 

 lement former. 



Si V^v est le dénominateur de la réduite ( y-.v) dey(,r), et que 



U(iv = '■o -+- /l'i A- + . . . + k^.x' 



en soit le numéi'atenr, on a 



V-'' J \ / W — H-+'' '- ' H+v+o ■-••■ , . . . , 



et il s'ensuit que \^,if(x) — \]^^ satisfera à Tcquation (F). 



Mais les dérivées de /(a?), grâce à l'équalion (E), s'expriment linéaire- 

 ment au moyen de celte fonction elle-même. La quaulité Y^^.,/[x) — XJ^,, 

 et ses dérivées seront donc des fonctions linéaires de /(as), à coefiiclenls 

 rationnels en x. En les substituant dans l'otpiation (F), on obtiendra un 

 résultat de la forme P/^x) -|- Q = o, où P est une fonction linéaire de \^|_,, 

 et (le ses dérivées, à coefficients entiers en x, et Q une fonction linéaii'e 

 de V^.„ Vy,; et leurs dérivées. 



Si f(x^ n'est pas simplement une série récurrente, on en conclura que 

 l'on a séparément 



F = o, Q = o; 



c'tst-à-dire que Von aura deux équations différentielles linéaires auxquelles 

 satisferont les polynômes Y^., et \]^,„ lapreini're de ces équations étant relative 

 au seul polynôme V^,,, dénominateur de la réduite (a, v). 



Par exemple, si l'équation (i) est réduite aux deux premiers termes 

 seulement, la relation (2) est, en supposant v^;;. — i , 



[a„+ (w. - [j.)[i(,] {m - v)y!-,„-|- (y-, ^- mf^^){m — a — v)X-„,^, = 0; 

 la fonction f{x') satisfait à l'équalion 



