SÉANCE DU 20 NOVEMBRE 190.5. 819 



sa démonstration (') de façon à les rendre périoiliciues. On peut ainsi les 

 représenter approximativement par des suites finies de Fourier S/,^(Ô) de 

 période 277, choisies une fois pour toutes et l'on a alors la proposition sui- 

 vante : 



Si f{^) est une fonction continue de période it., on a (^) 



p = n 



T II- 



(2) /(fO = li'ni;/ -;~ S/.vC^). 



p=l 



la limite étant uniforme. Si /( 0) est continue de o à 2tt sans être périodique, 

 on a 



F(ri)=lim'2F(^(p)s,,,(6) 



en désignant par F(9) la fonction qui est égale à' ^^ — ^^ pour = o 



ou iT. et qui est égale à /(O) pour toute autre valeur de 0. Dans ce cas, la 

 convergence n'est uniforme que dans tout intervalle intérieur £i (o, i-r:'). 



Outre l'avantage évident que présente l'emploi de la formule (2) dans 

 le cas des fonctions périodiques, j'y vois encore celui de pouvoir donner 

 une forme complètement explicite des fonctions S^_y(9), 



On peut, en effet, prendre en particulier 



ws>=i-fi:v^;™-i' 



'1 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements en fractions continues 

 de la fonction F{h, 1 , /i' , u) et la généralisation de la théorie des fondions 

 sphériques. Note de M. H. Paué, présentée par M. Emile Picard. 



Sous la seule condition que la série/= «„ -¥- a^x + a.,x- +.. . satisfasse 

 formellement à l'équation 



((i, + ^„^)a7^, — (fi, - oc, - y.,x)f= (a, - |i,)a„. 



(') Voir BoREL, Leçons sur les fonctions de variables réelles, igoS. 



(-) Observer qu'ici la première valeur de p e.-.l 1 et uon pas o comme dans (i). 



