820 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



le dénominateur V^,, <le In réduite ([;., v), en supposant ;j.5v + i, est une 

 solution de l'équation (^Comptes rendus, 6 novembre ipoS) 



'- ^([;. + V - l)(i, + [a„ + (;y. + v - l)<^,]x\ ^ + [;.(a„ + [î„v)j = o. 



1^1 



Supposons po et p, différents de zéro. En faisant le changement de variable 

 P„a; + p,« ^ o, et posant a^ = ^p„, a, = ^'P,, le résultat précédent prend 

 cette forme : le dénominateur V^^ de la réduite {[j., v), y.<v + i , de la fonc- 

 tion hyper géométrique F (h, i,h',u) satisfait à l'équation différentielle 



Aux racines o et h' -\- [a + v de l'équation déterminante de cette équa- 

 tion, pour u = o, correspondent, en supposant que h' ne soit pas entier, 

 les deux solutions 



F( — a, — A — V, — //' — ij. — V + I , u), 



u'>'^v^-'Y(h' ^^, h' — h + [j., A' 4- ;;. + V + I , u), 



qui fournissent tous les éléments des développements en fractions conti- 

 nues de la fonction F(A, i, h', u). 



La première de ces solutions est le polynôme Y^^^. 



La recherche des relations de récurrence qui existent entre les termes 

 de trois réduites consécutives quelconques d'une fraction continue holoïde 

 de F(A, i,h,u) revient ainsi au calcul des relations entre trois fonctions 

 F(^, 71, 'C, u) où les trois premiers éléments ne différent que par des nombres 

 entiers. 



Ces relations, qui sont au nombre de neuf, et parmi lesquelles figurent, 

 en particulier, celles que Gauss a employées pour obtenir sa célèbre frac- 

 tion contiiuio, donnent le moyen d'écrire immédiatement une fraction con- 

 tinue holoide quelconque de lu fonction V(^/i, i , />' , u), connaissant la disposi- 

 tion de ses réduites et les deux premières d'entre elles. 



On peut ainsi obtenir, eu particulier, les fractions continues régulières, 

 et même, par un artifice de calcul qui sera donné dans un Mémoire étendu 

 avec toutes les formules que je ne fais qu'indiquer ici. arriver à limiter ces 

 fractions par la détermination du quotient complet final. Comme cas très 



