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çant y, y', y" par -y, -y', -y"; 1 étant un paramètre qui se substitue à y. et 



que l'on peut, en particulier, supposer très petit. 



L'extension précédente est au contraire impossible, en général, si les 

 intégrales premières envisagées sont simplement uniformes au lieu d'être 

 algébriques. 



2. Je me propose d'indiquer pour le théorème rappelé une démonstra- 

 tion indépendante de celle de M. Poincaré. 



Je me servirai, comme dans un Mémoire récent ('), d'tine méthode 

 inspirée par celle que M. Painlevé a constamment employée pour l'étude 

 des équations du second ordre. 



En examinant les changements de fonctions qui permettent de séparer 

 les variables, dans les deux équations différentielles relatives aux compo- 

 santes/? et q de la rotation instantanée, on est amené à poser : 



7, = v/A(A - C).p -h /n/B(B - C).q, 



y., = \/A(\-(]).p - iv'WB^^.y, 



5, = y-f-j'y', z., = y — iy'. 



En remplaçant ji, :,, z.,, y" par \x,, >. = ,, Iz.,, /.y" on déduit, du système 

 difléreiitiel définissant le mouvement, un système différentiel dépendant 

 d'un paramètre >; ce nouveau système est holomorphe pour ^X = o et doit 

 admettre, quel que soit )^, une intégrale première algébrique non fonction 

 des intégrales classiques. 



3. Exprimons j,,j2, s,, z.,, y" en fonction de r. Les intégrales connues 

 donnent j„, s,, 52 à l'aide de j,, y", r, et le système différentiel est remplacé 

 par un système de deux équations du premier ordre qui déterminent jKi (^) 

 et y" (a-). 



J^es expressions y, (r), y"(r) et r doivent être liées algébriquement. 



Nous obtiendrons des conditions nécessaires d'existence d'une intégrale 

 algébrique en écrivant la propriété précédente pour 1 = 0. 



Le système, soit (a), définissant y,{r), Y'(^) pour )^ = o dépend de y" 

 d'une façon irrationnelle et semble impossible à étudier. Mais en le ren- 

 dant rationnel, ce qui est possible d'une infinité de manières, on en déduit 

 une équation intégrale et l'on peut alors ramener l'intégration aux quadra- 

 tures. 



(') Annales de Toulouse. 190J. 



