SÉANCE DU 17 JUILLET TQoS. 17T 



(liins l'cspncc à quatre, les droites qui ont pour cosinus directeurs les x, et 

 les y,- sont les tangentes d'un réseau. Donc : 



A une congruence ou à un réseau de l'espace à quatre dimensions corres- 

 pondent un réseau ou une congruence de l'espace non- euclidien et vice versa 

 (on ne considère pas comme distincts des éléments parallèles dans l'espace 

 à quatre). 



Des formules (i) on déduit le résultat suivant : 



Si un réseau et une congruence de l'espace à quatre sont en relation focale, 

 il en est de même des éléments qui leur correspondent. 



Enfin on établit facilement la propriété suivante : 



Si un réseau et une congruence de V espace à quatre sont conjugués on har- 

 moniques, les éléments qui leur correspondent sont respectivement harmoniques 

 ou conjugues. 



Il reste à indiquer les éléments de Tcspace non-euclidien c|ui corres- 

 pondent à certains éléments particuliers de l'espace à quatre dimensions. 



Depuis longtemps déjii [voir mon Mémoire Sur la déformation des sur- 

 faces (Journal de Mathématiques, 1896, i"'*' Partie, §§4 et 12)], j'ai remarqué 

 qu'un déterminant orthogonal : 



dans lequel on a les relations 



(2) 



du 



Ô.Vi 



= aç,i, 



= h m. 



^ = el 

 au 



do 





= n-rii 





(i = 1,2,3,4), 



= me, 



ce qui entraîne les conditions 

 (3) 



dv 



db_ 

 du 



= hm. 



de f 



<\f 



^= an, -^- =: en 



du 



, r dm dfi 



ah -h ef -h -r- -h -r- 



•' ()v du 



O, 



peut être interprété, soit nu point de vue non-euclidien, soit au point de 

 vue de la géométrie dans l'espace à quatre dimensions. 

 Au point de vue non-euclidien, les points 



k{Xt,x,_,x^,.v^) et B(7,, J2, 7,, y,) 



