178 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a->o et assez petit, une intégrale de (i), soit y = g(Ji^)■ Soit a(x) une 

 solution approchée; nous supposons u(x) définie pour o^cc'£h. Posons 



(2) ..>\u"-f(x,u,u% Y.,= |7„-«(o)i, y; = |j;-u'(o)1; 



les nombres a, Y„, Y^ sont petits. 



Soit A le domainn défini par o^x^h, u — iS^v^u + s, 11' — s'^y"Sii' -\- e'; 

 nous supposons £>Y„, e'> YJ,. Admettons que, dans ^, /(x, y, y') aoil 

 finie, continue par rapport à x, sauf peut-être pour des valeurs isolées 

 de X, et satisfasse à la condition de Lipschitz 



l/(^'7./)-/(^-. J..7',)l<«l7'-r', I +b\Y-y, \. 



Appliquons la méthode de M. Picard : remplaçons dans le second membre 

 de (1) y et y' par u et u', déterminons l'intégrale Uf(x) de l'équation ob- 

 tenue, telle que m,(o) =jk„, ii',(o) ^ y'^- Recommençons en remplaçant y 

 et y' par m, et ;/', , nous obtenons u.^, et ainsi de suite. 



2. L'étude des séries formées par les différences lu— Ui^, et leurs déri- 

 vées ii'i — u'^_^, conduit à envisager l'équation 



(3) Y"=aY'+^'Y + a, 



qui, dans le cas qui nous occupe, joue le rôle île 1 dans le cas général. 

 Soit Y = ¥(x; Y,,, Y|, ; a, h, a) la solution de (3) telle que, pour a; = o, 



Y et Y'= —prennent respectivement les valeurs Y^ et Y„ du 11° 1. Quand 



les six variables dont elle dépend sont positives, la fonction Y est positive 

 et croissante; il en est de même de ses dérivées. Pour Y,, = Y^ ^ a. ^ o, 



Y est identiquement nulle. 



3. Le champ de convergence de la méthode de i\L Picard s'étend au moins 

 de zéro à h' , h' étant inférieur o» égal à A et à la plus petite racine positive 

 des équations Y = e, Y' := s'. 



Dans l'intervalle o h' , les erreurs y — u, y' — u' sont, inférieures en valeur 

 absolue à Y et Y'. Il est facile de déduire de là, dans le cas particulier où 

 a. est nul, la continuité des intégrales de (i) par rapport aux données 

 initiales. 



En partant d'hypothèses sur la .solution exacte, on peut chercher des 

 conditions suffisantes pour que l'erreur correspondant à une solution 

 ap|)rochée ne surpasse pas une limite donnée à l'avance. M. Severini a 

 montré, dans la seconde de ses Notes citées plus haut, que ce problème se 

 ramène au précédent. 



