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celles qui restent courbes-ilniites de tout ensemble obtenu en enlevant 

 de E une infinité dénombrable de ses éléments; je les appellerai courbes 

 de condensation de E ( ' ) . 



Si un ensemble E de courbes est tel que toute infinité de ses éléments 

 admette au moins une courbe-limite, je dirai cpie E est un ensemble com- 

 pact (-). Enfin je dirai qu'une courbe C d'un ensemble 1 est intérieure, au 

 sens étroit, à l'ensemble I, si C est un élément de I qui n'est limite d'aucune 

 suite de courbes n'appartenant pas à I. 



Ceci étant, on peut alors démontrer que la plupart des théorèmes fon- 

 damentaux des ensembles linéaires s'étendent au cas des ensembles de 

 courbes. Les démonstrations sont beaucoup simjilifiées par la notion 

 d'écart que j'ai développée ailleurs (') etquijustifie ainsi son introduction. 



TiiÉOHiîME \. — De tout ensemble parfait P de courbes continues C, on 

 peut extraire une suite dénombrable D de ces courbes telle que V soit F ensemble 

 dérivé de D. 



Théorème K. — Un ensemble compact non dénombrable E de courbes con- 

 tinues donne toujours lieu à au moins une courbe de condensation. 



Théorème III. — Soit E un ensemble compact non dénombrable de courbes 

 continues : i" l'ensemble de ses courbes de co/idensalion est parfait ; 2° l'en- 

 setnble des courbes de li qui ne sont pas des courbes de condensation de E est dé- 

 nombrable. En particulier , tout ensemble fermé, compact et non dénombrable 

 de courbes continues, est la somme d' un ensemble parfait et d'un ensemble dé- 

 nombrable sans éléments communs. 



Théorème IV. — Pour qu'un ensemble compact E de courbes continues soit 

 fermé, il faut et il suffit que, de toute famille G d' ensembles I telle que toute 

 courbe de E soit un élément intérieur, au sens étroit, à l'un au moins des en- 

 sembles I, on puisse extraire un nombre fini de ces ensembles I formant une 

 famille H jouissant de la même propriété que G. 



(') CeUe définition csl une gém-ralisalion, sous une furme un peu dilTérenle, d'une 

 notion introduite par M. lîrnsl Lindel<if pour les ensembles ponctuels (voir Acla nia- 

 tfiemalica, igoS). 



C) Cette déiinilion m'a élé déjà utile pour des ensembles plus généraux {Comptes 

 rendus, 21 novembre 1904, a janvier et ao mars igo5). lîlle coïncide pour certains en- 

 bcmbles avec la déiinilion densemble limilé, dont elle est ici distincte. M. Arzela a 

 donné un critérium pour reconnaiU'e si un ensemble de courbes continues est com- 

 pact [voir Salle funzioni dei linee {Rencliconti dci Liitrei. 1889)]. 



(^) Noir Sur Pécari de deux courbes {Transactions of the American Mathcma- 

 tical Society, novembi-e 190.J). 



