SÉANCE DU 27 NOVEMBRE igoS. 875 



Nous voyons se manifester, dans ce qui précède, l'importance particu- 

 lière des ensembles compacts et fermés. Cette importance est encore 

 accrue par la remarque suivante : 



Supposons qu'on fasse correspondre à toute courbe c d'un ensemble E 

 un nombre déterminé U,,, de façon que, si T est un élément de E, qui est 



limite d'une suite d'éléments de E : T,, r^ r„, ..., on ait Ur= limite Ur„- 



/j — « 



Nous dirons que U,. est une fonction de ligne, continue dans l'ensemble E. 

 Or M. Arzela a démontré que : Toute fonction de ligne, continue dans un 

 ensemble de courbes, compact et fermé : i" est bornée dans cet ensemble ; 

 2° y atteint au moins une fois sa limite supérieure ('). Cette proposition 

 est une généralisation d un théorème bien connu de Weierstrass et j'ai 

 énoncé ce théorème pour des ensembles encore bien |ilus généraux que les 

 ensembles de courbes (-). Mais, dans le cas des ensembles de courbes, j'ai 

 pu démontrer la réciproque du théorème précédent : 



Théorème V. — Si un ensemble E de courbes continues est tel que toute 

 fonction de ligne, continue dans E : 1° y est bornée; 1° y atteint au moins une 

 fois sa limite supérieure, cet ensemble est nécessairement compact et fermé (^). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la divergence et la convergence non-uni- 

 forme des séries de Fourier. Note de M. H. Lebesgue, présentée par 



M. Emile Picard. 



P. du Bois-Reymond a construit le premier des fonctions continues dont 

 les séries de Fourier ne convergent pas partout; peut-être n'a-t-on pas 

 encore remarqué une autre singularité |)ossible des séries de Fourier : 

 il existe des fonctions continues dont les séries de Fourier convergent partout 

 sans être pour cela uniformément convergentes partout. 



(') Voir Suite funzioni dei linea {toc. cit.) 



(-) Viiir Comptes rendus {lac. cil.) 



(^) Cette réciproque est aussi exacte pour les ensembles de points de l'espace à un 

 nombre fini ou une infinité dcnombrai)le de dimensions. On peut alors remplacer le 

 mol compact par limité. Je profiterai de l'occasion pour signaler une erreur typo- 

 graphique (]ui s'est glissée dans ma Note du 22 novembre igoS. Dans la dernière for- 



mule (qui doiuie S,,,), au lieu de \^, il /mil lire 7 • 



