gnQ ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Le procédé qui m'a fourni de telles fonctions donne aussi des fonctions 

 continues à séries de Fourier divergentes el, comme il se déduit d'une 

 remarque très simple, il s'applique sans difficulté nouvelle quand on étudie 

 le mode de représentation, plus général que celui par les séries de 

 Fourier, dans lequel f(x) est considéré comme la limite, pour n = 'j:>, 



de / /(a)(p(c/. — a-, n)dy.. J'énonce, pour le seul cas des séries de Fou- 



rier, la remarque fondamentale. 



Soit/(£c) une fonction dont la valeur absolue ne surpasse jamais M : 

 1° si l'on ne connaît rien de plus sur/, on ne peut assigner aucune limite 

 supérieure aux valeurs absolues des sommes successives de la série de 

 Fourier de /; 2° au contraire, on peut assigner une limite supérieure M J/(^) 

 à ces valeurs absolues, si l'on sait que / est nulle dans l'intervalle 

 (a7 — h,x-^- h) entourant le point considéré. 



En effet, pour la somme S„ des n -h i premiers termes de la série de 

 Fourier de /^ on a, dans la première hypothèse. 



SJ = - 



sin(2/i + i) 



-f{y.)ch 



M 



"^0 



sin( 2« -I- i) i 



sin< 



dt = M'S)(n); 



et, dans la seconde hypothèse. 



S„ I = - 



i 



"- siii(2/( + i)< 

 siii t 



[/(a' + 20+/(*-3')]f/' 





Or, il est évident que la limite M(p(n) peut être atteinte et qu'elle croît 

 indéfiniment avec n. 



D'ailleurs, si la limite M (p(n) n'est atteinte que par une fonction /discon- 

 tinue, on peut du moins s'en approcher autant que l'on veut à l'aide de 

 fonctions continues et même de fonctions continues dont les séries de 

 Fourier convergent uniformément. 



Ceci posé, pour avoir une fonction continue / dont la série de Fourier 

 diverge pour x — o, nous chercherons / parmi les limites de fonctions 

 continues F^, de modules inférieurs à i, F^, étant telle que, pour ic = o, 

 l'une des sommes de sa série de Fourier surj)asse p. Et nous cherchons 

 à construire une fonction continue / à série de Fourier non uniformé- 

 ment convergente, en choisissant / aux voisinages immédiats des va- 



