SÉANCE DU 27 NOVEMBliK igoS. 877 



leurs X,, X2, ..., tendant vers une limite, de manière qu'en .r^, l'une des 

 sommes de la série de Fourier de f surpasse p. 



Voici, par exemple, comment on peut Hiire Posons 



Les /,, doivent être continues, île période 27:, de valeurs absolues inférieures h i et 

 développables en séries de Fourier, uniformément convergentes. Les £,, doivent être 

 les termes tous positifs d'une série de somme inférieure à i et l'on dnil avoir 



-p > ^/;-4-l + -p+2 H- . . . ^= T)p. 



lînfin, une dernière condition doit être remplie. A partir d'un certain indice F, les 

 sommes successives de la série de Fourier, uniformément convergente de Fp, sont 

 toutes inférieures en valeur absolue à i;/,,^., doit hvoir, pour .r=o, l'une des sommes 



de la série de Fourier supérieui-e. à [i -|- (/> -h i) h r|,,+ ,t5( 2,, )] ^= A,, ; z,, étant 



l'indice de cette somme, indice qu'on devra prendre supérieur à P. Cela est bien pos- 

 sible, car il suffit de prendre a,, assez grand pour que l'on ait A,, ■< '^(ap). 



Dans ces conditions, on voit immédiatement que, pour .r := o, les sommes d'indices 

 3i[, aj, ... de la série de Fourier, croissent au delà de toute limite. 



Pour avoir un exemple de la seconde singularité indiquée, j'appelle f^, une fonc- 

 tion continue, de période ?,tt, n'avant qu'un nombre fini de maxima et de minima, 



de valeur absolue inférieure à —■, qui, dans (<>, 9,r), est nulle à l'extérieur de 



I„ ( — , I et telle nue l'une des sommes de la série de Fouriei- soit au moins égale 



'' y^P 2''-'/ ' 



à /? + ']/ ( ri au milieu a'„ de l'intervalle I,, dont la longueur est 2 — — : ■ La série de 



\ 2^^ J 2' 



Fourier de 



/ = /.+/. + ••■ 



converge partout, même à l'origine, puisque/ a une dérivée pour x := o. et cependant 

 elle ne converge pas uniformément dans un intervalle comprenant l'origine. 



En terminant, j'indique une propriété qui prouve que, si la série de 

 Fourier de /est divergente en un point autour duquel / est bornée, cette 

 série rentre dans la classe de celles qu'on a parfois appelées sérifs indéter- 

 minées. 



Soient / et L les plus petite et plus grande limites de la série de Fourier 

 de / au point x, soient >, et A les plus petile et plus granle limites de 



/{x -\- t) ou de —- — -^ L quand t tend vers zéro; les deux 



intervalles (/, L), (>., A) ont toujours au moins un point en commun. 



C. R., icjn',, T Semeslre. (T. C\U, N' 22.) ' I • 



