qV'i académie des sciences. 



si l'on pose 



(8) a;, — -=^^, .T., = -=^l=, x,,= %,,, 



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on aura 



1 du du ' ()\' <)<.• 



' x](\ -{- p-) -\- xlii ->r q-') -{- x\^ l , 



Le point '^^(x^■,x^, x^) décrit sur la qiiadrique un réseau pnrallèle an 

 réseau M'. 



\. Supposons maintenanl que le réseau M' soil un réseau C; il en sera 

 de même du réseau M. Si l'on connaît un réseau N'(Y|, Yo, Y.,) applicable 

 sur M', on pourra, à l'aide de quadratures, en <lédiiire un réseau N appli- 

 cable sur M, c'est-à-dire une déformée de la quadrique. Posons en effet 



. dvi j 'A', ôv: <;y,- 



^ -^ au au .','r '/(' 



où les fonctions h et /sont les mêmes que celles qui figurent dans les for- 

 mules (g"); les points N( v,, yo.Ja) et M(.r| , a;., a^j) décriront des réseaux 

 applicables. 



En résumé, on voit cpie la déformation de la quadrique (1) revient à 

 trouver des réseaux M'(X,, Xo, X3) qui sont C et 30, les coordonnées 

 complémentaires qui rendent le réseau 30 élant 



Z,^/yX,, Z, = 7X,. 



Si l'on connaît seulement le réseau M', il faudra résoudre une équation 

 de Riccati pour trouver le réseau N'. Si l'on conuaîL les réseaux M' et N', 

 on en déduit, par quadratures, une déformée de la quadrique. 



.5. Transformation du problème. — Soit 'M{x^,x.,,x^') un réseau de la 

 quadrique applicable sur un réseau Nfy,, /-..V3), si l'on pose 



(n) y._ = px,, V, = r/,T2. 



Le point P(,Vi,,V2, r^.y^, /s) décrit, dans l'espace à cinq dimensions, un 

 réseau O. Parmi les réseaux qui sont parallèles au réseau P, il y en a ce', 

 tels que la somme des carrés des coordoimées soit nulle. On détei-mine 

 ces réseaux par la résolution d'une équation de Riccati; si l'un de ces ré- 

 seaux est connu, on détermine tous les autres à l'aide d'une quadrature. 



