SÉANCE DU '5i JUILLET igoS. 807 



de celte Jonction pour \x\'S-j- est inférieur à un certain nombre X qui dépend 



exclusivement du coefficient a„. 



4. Du Lhéorème qui vient d'être énoncé on déduira immédiatement (en 

 s'appuyant encore sur le lemme) la proposition de M. T.andau. Plus gé- 

 néralement, supposons que dans le développement (i) de la fonction holo- 

 morphe F(a;) on laisse fixes le coefficient a^ et un groupe quelconque 

 d'autres coefficients. Quels que soient les invariants choisis, il existera toujours 

 un cercle ne dépendant que de ces invariants, dans lequel Y {x) prendra sûre- 

 ment l'une des valeurs o, i » 



Une autre conséquence de notre théorème sera relative à la Convergentîe 

 du développement de F (a?) dans le cercle C. Soit C un cercle, concentrique 



à C, ayant pour rayon XR[i — r-^-)' (^ < 0- ^^ vérifie qu'j/ existe un en- 

 tier m, dépendant exclusivement du coefficient «0. ^^^ ^''^ ^ on ait, dans le 



cercle C, 



I a„,^, x"'-^^ I + 1 a„,^,x"'^' I + . . .< s =A„ 



£ étant un nombre arbitrairement petit assigné à l'avance. 



Enfin, j'observe que la démonstration dont je me suis servi conduit à 

 une généralisation immédiate du théorème. lenaginons que, dans un 

 cercle C, une fonction holoraorphe F(a;) ne prenne qu'un nombre fini/» de 

 fois les valeurs o et i. On pourra déterminer à l'intérieur de C un cercle V 

 de centre â\^ oîi F(,r) ne prendra aucune des valeurs du Tableau I, et où 

 l'on aura l'inégalité (2); la limite inférieure du rayon de T sera, d'ailleurs, 



d'auiant plus grande quep sera plus petit. On en conclura que 1^(-^) ^^^ 

 nécessairement inférieur à un certain nombre Xp, fonction de a^ et de p exclu- 

 sivement. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur de nouvelles séries de polynômes. 

 Note de M. A. IÎuiil, présentée par M. P. Appeil. 



Le but de cette Note est de signaler une classe de séries de polynômes 

 que je crois nouvelles, tout au moins quant à leur procétié de formation et 

 qui présentent des propriétés dignes d'attention, telles que d'être très 

 simples, de n'exiger la considération d'aucune opération transcendante 



