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pratiquement inexécutable, de pouvoir être rendues, à volonté, de plus en 

 plus convergentes et enfin d'être propres indistinctement à la représenta- 

 tion de fonctions analytiques ou non. 



Soit k un entier positif et considérons l'intégrale double 



(i) ^ J ^ /(2)e'^'-^- 



h-- 



Intégrer par rapport à q seulement entre — a -h e et a — e, ce n'est 

 retrancher qu'une partie infiniment petite avec e et cela permet de déve- 

 lopper en toute sécurité la parenthèse en q par la formule du binôme. 

 Posant alors 



(2) F(a.)=r"rV(-')^'"'""^' 



•j—ii "j-i 



l'intégrale précédente peut s'écrire 



Y{x\ I (^^-')F"(-^) I (2A-i)(2A-3) F'-^.r) ^ ^^^^ 

 ' 1 rt" 2.4 «' 



Si a devient infini, cela se réduit à F(a;), c'esL-à-dire à /(x), car (-i) 

 devient alors l'ordinaire formule de Fourier. L'intégrale (i) tend donc 

 vers /(x) quand a fend vers l'infini. Il y a là, premier point intéressant, une 

 généralisation de la formule de Fourier et, pour que le résultat souligné 

 subsiste, il suffit que f{x), dans l'intervalle — l, -\- l, satisfasse aux condi- 

 tions habituelles dites conditions de Dirichlet. Exprimons maintenant (i) 

 autrement en développant l'exponentielle. Posant 



(3) Vj{x)=j^'f{z)Çr-zydz., 



et n'écrivant que les termes non détruits par leur imparité, il vient 





'■■-fiP.+Ii"-— -jl'-l-.) ''''/• 



«■-- 



Or, la théorie élémentaire des fonctions eulériennes donne 



