SÉANCE DU 3l JUILLET ipoS. Sog 



et nous avons pour (i) le nouveau développement 



1- 



s(«.>^)=i^E(-')"H" + ï''^"^ï)(^^^"'^^^ 



qui, quel que soit k, doit tendre vers/(.r) quand a tend vers 1 mfin,. 



Étudions sur elle-même la convergence de cette série. On peut séparer 

 l'intervalle - /. + / en d'autres où les P,,(x) couservent un signe inva- 

 riable, et, comme la série précédente est alors alternée, il suffit de vérifier 

 que les termes décroissent à partir d'un certain rang. Or on peut disposer 

 de k pour qu'il en soit ainsi à partir d'un rang arbitraire, quelque grand 

 que soit a. En résumé, soient 



a,, «s, ..-. Op k,, A-j, .... kp, ... 



deux suites indéfiniment croissantes et l'on aura 



y-(^) ^ S(«,, A-.) + [S(a„ L) - S(a,,/t.)] -f- [S(a„ ^^3) - S(a,, k,)]^.... 



On voit que les séries de polynômes ainsi déterminées ont le même 

 caractère de généralité que celles connues jusqu'ici. Si 0: est une variable 

 complexe ces résultats subsistent, car rien dans ce qm précède ne suppose 

 essentiellement que ^ soit réel; toutefois, quelques détails complémen- 

 taires, négligés ici faute de place, tendraient à faire exclure de tout le 

 plan de convergence quelques régions particulières comme 1 etode de 



M. Mittag-Leffler. . . 0/ ,n ^ 



Remarquons en terminant que les coefficients B des senes S(a. k) seront 

 toujours d'un calcul très simple, B s'exprimant au moyen de T par une 

 formule connue et les fonctions T elles-mêmes s'exprimant si^mplement et 

 rapidement, de façon approchée, pour de grandes valeurs de leur argu- 

 ment. On voit encore qu'on pourrait généraliser en prenant pour /t un 

 nombre non entier ou encore en remplaçant dans (i) q'a ' par q-'a "'. l.es 

 coefficients B seraient alors irrationnels, tandis qu'ici ils ne contiennent, 

 tout calcul fait, que le flicteur ,. que son inverse détruit immédiatement. 

 Enfin, on peut, dans les solutions de Cauchy-Fourier des équations de la 

 Physique mathématique, substituer des intégrales (.) à des intégrales (2). 

 d'où de nouveaux développements en séries de polynômes pour les solu- 

 tions en question. 



