SÉANCE DU 3l JUILLET ipoS. 3o3 



nées est quelconque. Particularisons-le en le faisant coïncider avec celui des 

 lignes de courbure. Choisissons, en outre, les sphères S, et S,, de manière 

 que les cercles d'intersection de ces sphères avec la sphère S3 soient 

 respeclivement tangentes en M aux lignes de courbure m = const. et 

 i> = consl. De là résultent les égalités 



Ti + [j.i = o, E, 4- il, = 0, ;; = o, q, = o. 



L'élément linéaire de la surface est alors donné par la formule 

 ds- = M (A- du- + C- di>-), 

 dans laquelle M est un facteur inconnu et où l'on a posé, pour abréger, 



Soient A' et a" les A des sphères principales. On a 



^ (/ Pi 



Envisageons les sphères qui, passant par le point M, ont pour centres les 

 centres de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent en 

 ce point. Ces sphères (qu'on pourrait appeler les sphères géodésiques) sont 

 conservées dans l'inversion. Elles sont définies par les équations 



ç'x^ -f- x^ -\- ix^ = o, Ç)"x.;i -\~ X,, + ix^ = o, 



dans lesquelles 



Les sphères S, et S, sont encore partiellement indéterminées; achevons 

 de les définir en les faisant passer par le second point de contact M, de la 

 sphère S3 avec son enveloppe. Nous aurons alors 



(^ = "C, = V = V, = o. 



Les sphères S, et So étant choisies comme il vient d'être dit, envisageons le 

 cas où les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes i et i, 

 de l'enveloppe de S,. Pour qu'd en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait 



?, = r, = A, = [;.:=: o. 



