SÉANCE DU 3t JUILLET IQoS. 3o5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés d'une fonction holomorphe 

 clans uncercle où elle ne prend pas lesvaleurs zéro et un. NoledeM. Pierre 

 BouTROUx, présentée par M. Poincaré. 



1. M. Landau a démontré le théorème suivant ('), qui se présente 

 comme une généralisation du théorème' de M. Picard sur les fonctions 

 entières : 



Soit une fonction entière 



(j) F(a7) = a„ + a,a; + a^r^ -t-. . . 



et soil a„ 7^ o, a^^^\^ «< 7^ o. // existe un nombre R indépendant des coeffi- 

 cients a,, a^, . . ., c est-à-dire fonction de a^ et de a ^ seulement, tel que F(a7) 

 prenne sûrement l'une des valeurs o, i dans le cercle de rayon R ayant son 

 centre à l'origine. 



J'ai été conduit depuis lors à quelques remarques d'un caractère ana- 

 logue, que je vais résumer dans cette Note. 



2. Je m'appuie sur le lemme suivant ; 

 Lemme. — Soil une fonction entière 



(f(^X^ =: I -h (X^X -+- OL.^X'-' -\- 



Posons 



\x\ = r, an (/•) =: I + I a, I r -I- ! aj I r* + . . . 



et appelons A(r) la plus grande valeur positive de la partie réelle de <d(x) pour 

 I a; I = /•, A(r) étant assujetti à être par exemple plus grand que 10. Quel que 

 soit r, on a (-) 



3rL(9/-)<ioA(r)logA(r) pour 0<i — 



logA(/-) 

 3. Soil maintenant une fonction F(.r), holomorphe dans un cercle C de 



(') Landau, Ueber eine Verall^emeiiierung des Picardschen Salzes {SUzungsbe- 

 richle d. k. pr. Ak. d. W., juillet 1904)- 



(') La démonstration de ce lemme résuite de formules données par M. Borel dans 

 son Mémoire Sur les zéros des fonctions entières (Acta mat., t. XX). 



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