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rayon (') R (i <^ R <; 2), ayant son centre à l'origine et ne prenant dans ce 

 cercle ni la valeur o, ni la valeur i. Dans le cercle C, logF(a:) est une 

 fonction holomorphe qui ne prend pas les valeurs o, 2/7:, l^i- De 



même log ''^.' — = F,(a;) est une fonction holomorphe qui ne prend 



dans C aucune des valeurs 



( •••• ^'0,-2=— 21-, j?:^ I, = o, /?-„,o= 2?'77, .,., 



(n .... ^2__o= log2 — 2/7:, ^2,o=log2» X-,., = log2 4- 2i77, ,.., 



Comme on a passé de F(j?) à F, (a:), on p;issera de F,(.-r) a. une fonction 

 Y^{x), et ainsi de suite. On constate que, dans un cercle conceutrique à C 



et de rayon -^j les modules maxima (pour \x\ir) des fonctions F, F,, F,, ... 

 vont en décroissant avec une rapidité que le lemme nous permet d'évaluer, 

 D'autre part, on peut déterminer un point x^ intérieur à C, tel que dans 

 un cercle r de centre x^, F(.r) soit une fonction holomorphe donnée par 

 le développement 



Y{x)=h,+ h,{x -.r^)-}-..., 

 avec 



m(^)-|F(o)| 



JVI(/) désignant le module maximum de F(.r) pour |a"|£r. 



Ces deux remarques permettent de constater, par un raisonnement 



simple, que l'on aboutirait à une contradiction si l'on admettait que M( -j-\ 



dépasse une certaine valeur X, laquelle dépend exclusivement de F(o). 



En d'autres termes : Si, dans un cercle C de rayon R, la fonction holo- 

 morphe F(a:-) ne prend ni la valeur o, ni la valeur 1 , le module maximum (-) 



C) En faisant au besoin un cliangemenl de variable .2;' ir: Xx, j'ai bien le droit de 

 supposer que 1 < li < 2. 



(^) Le nombre | peut d'ailleurs être remplacé par un nombre quelconque inférieur 



