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pour centre et l'unité pour rayon, et divergentes hors de ce cercle; dans le 

 cercle, elles convergent i^ers F (h, i, h', it). 



Les fractions continues (Fo) et (F;,) sont convergentes dans le plan coupé 

 suivant la droite -+- \ . . . -h cfj, et ont pour limite la fonction F(/i, i, h', u) 

 et son prolongeme/U analytique. 



2. Ces résultats se trans|iortent immédiatement à la série 



f{x) = rt„ + o, .r + a.,.r'- -j- . . . 

 satisfaisant formellement à l'équation 



(p, + '^,x)x'^^_ - (P, — a, - a„.2-)/r= (a, - fi, V<„. 



où po Pi p, sont supposés différents de zéro; le domaine D de conver^enco 

 (les fractions (F, ) devient le cercle qui a l'origine pour centre et dont la 



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 circonférence passe par le point dont l'affixe est — ^; celui (F)') i!es 



fractions (F^) et (F,) devient le plan coupé suivant le prolongeuient (C), 



3 

 au delà du |:)oint d'affixe — "^j de la droite qui va de l'origine à ce point. 



3. Si l'on fait tendre p^ vers zéro, les deux domaines ( D) et (D') 

 s'étendent à tout le plan ; dans ce cas, on peut établir que toutes les frac- 

 tions continues holoides de la fonction f(-T) sont convergentes dans tout le 

 /)lan ; on se trouve en présence d'une généralisation du cas connu de la 

 fonction exponentielle; on a, en effet, 



f(a:) = I H h - 



;h + I ( m + I ) ( w; + 2 ) 



les constantes a el m étant définies par les équations P|rt-t-a„ = o, 

 Pi/« -h P, — a, = o. 



4. Su|)|)o,sons, maintenant, que ce soit [i, qui tende vers zéro. Alors, le 

 domaine (D) se réduit à un point; toutes les fractions (F, ) deviennent 

 divergentes ilans tout le plan, sauf à l'origine; la série y"(a7), qui est équi- 

 valente à la première de ces fonctions continues, est la série divergente 



I -f- (to + T ) -" + (m -I- I) (m -f- 2 ) -^ 4- 



o, [i^/n-i- [il„— a„ --=<). 

 La coupure ((I ) du domaine (D) devient une demi-droite issue de l'origine 

 et contenant le point d'affixe a. C'est dans le plan ainsi coupé que sont con- 



