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dans le sens de la propagation des ondes; Rp le rayon initial du tuyau ; R le 

 rayon de la section d'abscisse x à l'instant t; u, w les composantes au 

 même instant de la vitesse en un point M d'absoisse x et distant de r de Ox, 

 suivant Ox et suly^int le rayon extérieur de M. I/onde de Weber produit, 

 au moment de son passage dans une section, des vitesses presque iden- 

 tiques, en sorte que ;f varie peu avec r; de plus, sa longévité marque le 

 peu d'influence des frottements. 



Aux équations d'Euler et d'incompressibilité 



/ \ àp , ()p , du d(<.rr) 



(i) -i--hp«=o, -i- + aw =o, r-, \ ^-, — ^ = o, 



il faut joindre une double condition limite : i° à la surface interne du tube, 



D2 t) 2 



pour /• = R, p doit se réduire à p, = a-hk — rpr-^' « étant la pression 



interne initiale et k un coefficient constaot fourni par la théorie de l'élasti- 

 cité et dont M. Boussinesq a récemment donné (Comptes rendus, lo juillet 

 igoS) l'expression la plus générale pour un tube dont la substance présen- 

 terait un axe d'isotropie de direction Ox; 2° si, pour r^ R, ii^u,, ir = n,, 



ona(v, = ^ + u.^. 



Soit U la vitesse moyenne dans une section donnée : on obtient 



tandis que les premières équations (i) donnent successivement 



,R2-R^ /-" , , 



p = a -h k — jp-^ + p / w dr, 



.„s k àR' d r^ , , du Ou I du r" du j 



^ pHj (y^ dxj^ dt d.r r dr J^ d-r 



Première approximation. — Remplaçons les équations (A) et (B) par 



-, ■ dR- „., (9U ,„ , k dR- d\} 



cela revient à négliger des termes du second ordre par rapport à la vitesse 

 longitudinale, à la variation du ravou; à tenir compte de la lente variation 

 de u avec r, etc. Supposons l'origine des .r i)lacée de manière que, pour 

 t ^o, les ondes n'aient pas encore envahi les sections à abscisses positives. 



