SÉANCE DU 4 SEPTEMBRE igoS. /(Sg 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les enveloppes de sphères dont les 

 deux nappes se correspondent avec conservation des angles. Note de 

 M. A. Demoulix. 



Les formules (A) par lesquelles se termine notre Note du 3i juillet der- 

 nier sont fondamentales dans la théorie des enveloppes de sphères dont 

 les deux nappes se correspondent avec conservation des lignes de cour- 

 bure. Nous nous proposons de les appliquer à l'étude du problème suivant 

 dont M. Darboux a déjà fait connaître une très élégante solution, en 1899, 

 dans les Comptes rendus : Déterminer de la manière la plus générale une enve- 

 loppe de sphères dont les deux nappes se correspondent avec conservation des 

 angles. 



Au début de sa solution, M. Darboux a établi une propriété essentielle 

 des enveloppes considérées : leurs deux nappes se correspondent avec 

 conservation des lignes de courbure. Nous la prendrons comme point de 

 départ; l'emploi des formules (A) sera dès lors tout indiqué. 



En exprimant que le rapport des ds^ des deux nappes 2 et 2, de l'en- 

 veloppe est indépendant de du et de dv, on trouve que l'on doit avoir soit 

 ^[y-, = 1y),, soit ^-/i, 4- 'k[J.^ = o. La première hypothèse fournit la première 

 solution de M. Darboux, celle où les deux nappes S et 1^ sont inverses 

 l'une de l'autre. La deuxième hypothèse permet de simj)lifler la dernière 

 des relations (A) et l'on a, dans ce cas, 



- 7/^1 • 



Les formules (1) et (3), d'une part, {1) et (3), d'autre part, sont les 

 formules de Cotlazzi relatives à deux surfaces A et A, rapportées à leurs 

 lignes de courbure et dont les ds- sont res|)ectivement : 



l- du"- + n] dv"- , r- du- + pl; dv- . 



Les deux surfaces jieuvent être placées de manière que les plans tan- 

 gents en deux points correspondants soient parallèles et la relation 



^-/), 4- X[^., = o 



