46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



exprime que la correspondance a lieu avec conservation des aires. D'une 

 manière plus précise, les courbures totales en deux points correspondants 

 sont égales et de signes contraires. La réciproque est évidente : A tout 

 couple de surfaces se correspondant par parallélisme des plans tangents, 

 de manière que les lignes de courbure se correspondent et que les cour- 

 bures totales en deux points correspondants soient égales et de signes 

 contraires, on pourra faire correspondre une des enveloppes cherchées, 

 Amsi se trouve établie l'équivalence de deux problèmes en apparence très 

 différents; mais pour parvenir le plus rapiilement possible au résultat que 

 nous avons en vue, nous remplacerons les systèmes (i) et (2) par les 

 suivants : 



(4) — ^j;— ^=-'-('^H + î|^-,). — ^5^r^=''<('^-^'^)' 



(5) j; = -r{r,,-iiJ.,), — =/,(^-^^)- 



Les systèmes (4) et (3), d'une part, (5) et (3), d'autre part, mettent en 

 évidence deux surfaces B et B, rapportées à leurs lignes de courbure et 

 dont les ds^ sont respectivement : 



(l + iiy du- + (r„ + i |x, )= dv\ (l - ixy-diâ + (-n, - i[j., y- dv\ 



Ces surfaces peuvent être placées de manière que les plans tangents en 

 deux points correspondants soient parallèles et la relation E-/i, -t- \[J.^ = o 

 exprime qu'elles se correspondent avec conservation des angles. Il suit de 

 là que les surfaces B et B, sont deux surfaces isothermiques associées dans 

 le problème lie Christoffel (') et l'on peut énoncer le théorème suivant : 



(') On sait que, lorsque deux surfaces se correspondent avec parallélisme des plans 

 tangents et conservation des angles, ce sont ou bien deux surfaces isothermiques, ou 

 bien deux surfaces homolhétiques quelconques, ou bien deux surfaces niinima quel- 

 conques. On reconnaît aisément que, dans le cas actuel, les deux dernières hypothèses 

 sont à rejeter. Au reste, on peut pousser assez loin l'intégration des équations du pro- 

 blème pour établir directement le résultat indiqué dans le texte. 



D'un couple B, B, on peut déduire un couple A, A, par la construction suivante : 

 Soient A, A,, B, B, quatre points correspondants appartenant aux surfaces désignées 

 par les mêmes lettres. Le point A est le milieu du segment BB, et le point A, est 



RR 



l'extrémité d'un segment égal à i mené par un point fixe parallèlement à la 



droite BB,. Une relation analogue entre deux couples de surfaces a été indiquée par 

 M. Guichard, en igoS, dans les Comptes rendus. 



