SÉANCE DU f\ SEPTEMBRE igoS. 46 1 



A tnul couple de surfaces isothermiques B, B, 5e correspondant dans le pro- 

 blème de Chrisloffel, l'intégration d'un système de cinq équations linéaires aux 

 différentielles totales permettra de faire correspondre une enveloppe de sphères 

 dont les deux nappes 2, i, se correspondront, elles aussi, avec conservation des 

 angles. 



Ainsi que l'a établi M. Darboux, les surfaces 2 etl, sont isothermiques. 

 On le reconnaît immédiatement ici en observant que leurs ds'"- sont égaux 

 aux ds- (les surfaces B et B, multipliés respectivement par les facteurs M 

 et M,. (Voir notre Note du 3i juillet.) 



Les surfaces B et B, ont avec les surfaces i et i, des relations géomé- 

 triques remarquables. Soient, au point (//, v) de la surface B, R', R" les 

 rayons de courbure principaux et G', G" les rayons de courbure géodé- 

 sique des lignes de courbure. Désignons par les mêmes lettres affectées de 

 l'indice i les éléments de même définition relatifs au point correspondant 

 de la surface B,, et conservons pour les surfaces 1 et i, les notations de 

 notre Note du 3i juillet. Cela posé, on a 



K' ~~ R" ~ G' ~ G" r; R'i g; G", 



Si, au lieu de choisir la sphère S^i comme il a été dit dans la Note citée, 

 on lui laisse toute sa généralité, les huit rapports ci-dessus ne cessent pas 

 d'être égaux, mais leur valeur commune n'est plus égale à l'unité. 



Les rayons de courbure principaux et les rayons de courbure géodésique 

 des lignes de courbure des surfaces B et B, sont liés par les relations sui- 

 vantes dont la seconde ne nous paraît pas avoir été remarquée : 



R' r; _ G' G^ _ 



R^ + r; - °' G" "^ G'; - "• 



On déduit de là deux relations entre les sphères principales et les sphères 

 géodésiques des surfaces i et i, : 



K^ + ^ - «' g^ + r. - ^- 



Les relations précédentes entre les surfaces B, B, et 2, 1^ conduisent 

 naturellement aux surfaces isothermiques de M. Thybaut. Prenons pour B 

 et B, une sphère et une surface minima, alors la surface i; sera une sphère 

 et l'on aura, pour la surface 2,, iR.', 4- < = c Or, si l'on désigne par Ao 

 le X de la sphère harmonique en un point d'une surface dont les A des 



