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Nous sommes parvenu à résoudre cette question grâce à la Géométrie 

 cayleyenne intrinsèque (voir à ce sujet, dans les Comptes rendus, noire Note 

 du 8 aoi'it igo4). 



Changeant les notations, écrivons comme il suit le système précédent : 



(a) 



Les inconnues sont maintenant a, ^, y, 2 et il s'agit de mettre les fonctions de i' : ^, 

 (7, /• sous une forme telle (lue le système puisse èlre intégré de la manière la pUls 

 générale. 



On y parviendra en observant que ce système, où les inconnues a, p, y, 3 seront 

 censées ne dépendre que de i', est celui que l'on a à intégrer lorsque l'on veut déter- 

 miner, en Géométrie cayleyenne, le mouvement d'un tétraèdre aulopolaire par rapport 

 à la quadrique fondamentale dans lequel lès vitesses p, yj, Ç sont nulles, les trois autres 

 l, q, r étant arbitraires. Soient, comme dans la Note citée, 0,, Oo, O3, O4 les sommets 

 du tétraèdre. En vertu des relations /> = Vj = s = o, la droite O4O1 es(. tangente à la 

 trajectoire du point O4 et la caractéristique de la face O1O4O2 est la droite OjOj, 

 laquelle a dès lors une enveloppe. Ces résultats conduisent à la construction suivante 

 du tétraèdre autopolaire le plus général salisfaisant aux conditions indiquées. Suppo- 

 sons qu'on ail exprimé, par des formules débarrassées de tout signe de quadrature, les 

 coordonnées et l'arc cavleven de la courbe la plus générale, problème qu'on sait ré- 

 soudre par l'application de méthodes connues. On portera sur la tangente, en un point 

 quelconque IVl de cette courbe, un segment MO4 égal à l'arc cayleyen de la courbe. 

 Cette droite portera le segment O4O2 et la tangente à la trajectoire du point O4 por- 

 tera le segment OiO,. Connaissant les droites 0,0, et O4O2, on achèvera facilement 

 le tétraèdre. Cela posé, si l'on désigne par ( .r,, y,-, s,-, /,) les coordonnées du sommef O,-, 

 (.r,, j-2, a-,, a^j), . . ., (<i, <2) ^3! '4) seront quatre solutions du système (2) et la solu- 

 tion (a, p, Y, S) la plus générale de ce système sera donnée par les formules 



'X = Ui j;,-t- U2 Vi-h U3^,-(- tJif,, 



» 



dans lesquelles U,, U2, U3, U4 sont des fonctions arbitraires de 11. 



Lorsque /-^z-ir^o, toutes les lignes de courbure des surfaces orthogonales aux 

 cercles r sont des cercles géodésiques et la détermination intrinsèque du système cy- 

 clique est intermédiaire. 



