5oo ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En particulier, si ? = r, m =p — i, on aura 



Pour ])lns de simplicité je me placerai dans cette dernière hypothèse et 

 je donne ci-après diverses propositions qui sont la généralisation de celles 

 développées dans une précédente Communication. 



Premier cas. — )i,,r=X, c'est le cas qui correspond i'i la fraction périodique «impie. 

 Dans ce cas les rapports successifs S] : S, : S, : ... : S^, sont égaux à la racine de plus 

 grand module de l'équation caractéristique 



¥/' = ).! + (—!)'■ -'. 



Ce rapport unique est en conséquence bien déterminé et convergent sui- tout le plan 

 complexe sauf sur les courbes ou portions de courbes formant coupure pour lesquelles 

 l'équation ci-dessus possède deux ou jilusieurs racines ayant le même module 

 maximum. 



Deiuriènie cas. — Admettons que, pour n =:c<:, 7^ tende vers une limite bien déter- 

 minée ), et que l'équation caractéristique 



Y/'z=/Y4-(~i)/'-i 



ait, quel que soit c, rj racines ayant le même module maximum [i<i q'L p). 



Dans ce cas, si x, est l'une quelconque de ces </ racines, ou aura sur tout le plan 

 complexe 



^1 ^2 Ojo 



PJa,+ P2a;H-..--HPî'< ^ Pi «/ SPji, 



les P^ (j, z ^i .1 . . .p) étant des fonctions entières dont on peut déterminer une 

 limite supérieure de l'ordre apparent et dont le déterminant est égal à l'unité. 



Troisicine cas. — ),„ a pour limite une ([uantilè ou un polynôme ). autre que ceux 

 considérés dans le paragraphe précédent. 



Dans ce cas, l'équation caractéristique 



Y''=:>Y-i- (— l)''-' 



a en général une racine a de module supérieur à toutes les autres, sauf cependant sur 

 certaines courbes ou portions de courbes formant coupure. On aura alors sur tout le 

 plan complexe (sauf sur ces coupures) 



S, _ s., s. 



Plï + p^a-^ + ... + P';a/' z\'{y.j i;!';,^-' 



les P^ étant, comme ci-dessus, des fonctions entières dont le déterminant est égal à 

 l'unité. 



