SÉANCE DU 28 AOUT IQoS. 4' 5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation différentielle du quatrième ordre. 



Note de M. Gaston Darboux. 



Dans l'étude fl'une question d'Analyse j'ai rencontré l'équation diffé- 

 rentielle du quatrième ordre 



(0 



= 1, 



où y' désigne la dérivée «'''"' de la fonction inconnue j par rapporta la va- 

 riaijle indépendante a?. Je me propose de montrer que l'on peut ramener 

 cette équation du quatrième ordre aune autre du premier ordre qui s'intègre 

 à l'aided'uneméthodequej'ai fait connaître an\.reïo'\s {Comptes rendus, mars 

 et avril 1878, et Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. II) et qui 

 permet de construire l'intégrale générale à l'aide d'un certain nombre de 

 solutions particulières. 



Je remarquerai d'abord qu'en vertu des propriétés les plus élémentaires 

 des déterminants, l'équation proposée peut se mettre sous la forme 



(yy" - y"')(yy'-y"'') - (.>'/" - y'y"y=y. 



Si donc on pose 

 ou aura 



z' = YY- - y' y, s" = jj"' - y'" 



et l'équation proposée pourra être remplacée par le système 

 ( = ) 



yy"-Y'-= Z, 



= y, 



qui a quelque analogie avec celui auquel satisfont deux des fonctions A/ de 

 M. Weierstrass, et qui est parfaitement symétrique en y et :;. De là résulte 

 qu'à toute solution y de l'équation (1)^ on pourra faire correspondre une 

 autre solution z définie par la première des équations (2). 

 On donne une forme plus simple au système (i) en posant 



(3) y=--e" 



z = e 



