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ce qui le ramène à la forme 



(4) a" =6"-^", i/'z^e"--". 



Si l'on multiplie les deux équations respectivement par v' — 2U et 

 u' — iv' , on aperçoit immédiatement l'intégrale 



(5) mV — «'- - v'-= 6"-="'+ 6"--"+ 3a, 



où a désigne une constante. Remplaçons les exponentielles par les quan- 

 tités égales m", v" et éliminons la fonction (^ au moyen de la première des 

 équations (4)> nous serons conduits à l'équation 



u" -\- 3u"'- -h 3u'u"' -\- 3aw"+ 3a'*M"= o, 



qui s'intègre immédiatement et donne 



(6) u" -+- 3 u'u" + u'^ -h 3 7.u' 4- ,8 = o, 



(î désignant une nouvelle constante. Or on sait qu'en prenant comme 

 variables indépendantes u' et u", l'équation précédente se ramène à la 

 suivante 



du" 



(7) 'i"-rr + 3u'u" -+- u'^ -f- 3xu' -\- 8 = 0. 



^ ' ^ du ' 



La réduction annoncée à une équation du premier ordre est donc effectuée. 

 Le système (4) étant symétrique en u et en c, il est clair que l'on devra 

 trouver pour v une équation analogue à l'équation (6). Cette équation est 

 la suivante 



(8) v"'-\-3,v'v"+v"^3y.^''- fi = o, 



comme on le vérifie aisément. 



En la laissant de côté, on voit que toute la question est ramenée à l'in- 

 tégration de l'équation (6) ou de son équivalente (7). Quand u sera connu, 

 V sera donné par la formule 



(9) v== iu + logM", 



déduite de la première des équations (^4)- 



Pour intégrer l'équation (7) nous remarquerons d'abord qu'elle admet 

 trois solutions particulières. Désignons par /(w) le polynôme 



«^ -+- 3aw + p 



