SÉANCE DU 2(3 DÉCEMBRE igoS. I 2 I I 



I^e [)roblème de Christoffel peut êlre généralisé comme il suit : 

 Déterminer de la manière la plus générale un couple de surf aces ayant même 



représentation sphérique de leurs lignes de courbure, la correspondance ainsi 



établie entre ces deux surfaces étant telle que les trajectoires isogonales de leurs 



lignes de cou/ bure se correspondent. 



Les coordoanées (a;, j, :;), (a',,j,,z,) de deux points correspondants, 



exprimées en fonction des paramètres des lignes de courbure, satisfont au 



système 



ait ou àv yi' 



dans lequel k désigne une constante et a une fonction convenablement 

 choisie. Les éléments linéaires des deux surfaces sont donnés par les 

 formules 



ds' = a' ' - '■ du- + V - '• dv^ , rf.v; = X~ ~ chr -4- i- 1^' dv- . 



Leurs rayons de courbure principaux sont liés par la relation 



R' ~ R, ■ 



Si l'on fait X' = — i, on retrouve les formules relatives aux surfaces 

 isothermiques. 



La question qui vient d'être traitée suggère la suivante : 



Déterminer de la manière la plus générale une enveloppe de sphères à deux 

 paramètres de telle manière que ses deusu nappes se correspondent avec conser- 

 vation des lignes de courbure et de leurs trajectoires isogonales. 



Pour résoudre ce problème, nous appliquerons nos méthodes de Géo- 

 métrie anallagmatique intrinsèque (voir, dans les Comptes rendus, nos 

 Notes des 5 juin et 3i juillet iQoS). Il s'agit d'intégrer les formules (A) 

 de notre Note du 3i juillet, auxquelles on joindra les équations A, =:)iA, 

 C, = ^XC, dans lesquelles k désigne une constante et X une fonction a 

 déterminer. 



Les éléments linéaires des deux nappes de l'enveloppe sont donnés par 

 les formules 



ds' =-. M ( a' ~' du"" -h X"^ dv' ) , ds\ =: M , ( ^ ■ "^ dir + k' a"^ dv- ) , 

 dans lesquelles M et M, sont des facteurs inconnus. 



