SÉANCE DU 26 DÉCEMBRE IQoS. 12l5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — SuT- quelques généralisations du théorème de 

 M. Picard. Note de M. C. Carathéodory, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Le théorème de M. Picard qui a trait an nombre de valeurs qu'une fonc- 

 tion entière peut ne pas atteindre, a reçu de M. E. Landau une extension 

 fort remarquable ('). Les résultats tle ce dernier auteur peuvent être géné- 

 ralisés de la façon suivante : 



Soit 



(i) Y =f{x) 1= (7o -t- <7| r + a.:.x- 4- . . . 



une série de puissances représentant aux environs de l'origine une fonctioit 

 qui ne possède pas d'autres singularités que des pôles à l'intérieur d'un 

 cercle de rayon i. Soient «, p, y trois nombres complexes quelconques dif- 

 férents de a„ et m, n, p trois entiers positifs tels que l'inégalité 



I r I . 



1 h - < I 



m n p 



soit vérifiée. Nous supposerons, en outre, que les fondions ( >' — <>'-)'"► 



1^ 1 



(y — p)" et (^y — ^(Y sont régulières aux environs de toute valeur de x dont 

 le module est inférieur à l'unité et à laquelle correspond une valeur finie 

 dej. 



Je dis que, sous ces conditions, la valeur absolue du coefficient a, sera au 

 plus égale à une quantité, qui dépend des seules grandeurs rt„, a, [i, y, /«, 

 n, p et que nous allons déterminer. 



Considérons à cet effet, d'une part, dans un plan w, un triangle curviligne A'B'C 



dont les côtés sont des arcs de cercle et les aneles au sommet respectivement — , —, — ; 



' *^ m II /)' 



d'autre part, la portion T du plan des y contenant «o, qui est limitée par le cercle pas- 

 sant par a, p et y- Faisons la représentation conforme de ces figures l'une sur l'autre; 

 il sera toujours possible, en remplaçant au besoin A'B'C par son symétrique, de faire 

 correspondre les points A', B', C respectivement aux points a, [3 et ■(■• Au point a^ 

 correspondra alors un point 0' du triangle A'B'Cl'; les prolongements des côtés de ce 



( ' ) Ueber cine Verallgenieinerun^ des Picard' >iclien Satzes {Sitzungsber. d. LSerl, 

 Akad., t. XXXVIII, 1904, p. 11 18). 



C. K., 1905, 2« Semestre. (T, CXLI, N' 26.) I j^ 



