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triangle sont d'ailleurs coupés orlliogonalement par un cercle réel D. On peut donc, 

 au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques et d'un rabattement, 

 ramener le point O' à l'origine des coordonnées et faire coïncider le cercle D avec le 

 cercle de rayon i concentrique à cette origine. La représentation conforme de la por- 

 tion T du plan des y sur le triangle curviligne AIJG dans sa nouvelle position sera 

 réalisée par une fonction (<() ) quotient de deux fonctions liypergéoniélriques dont 

 l'étude a été faite par M. Scliwarz ('). Une brandie de celle fonction u'(y) s'annule 

 pour y = «0 et possède en ce point une dérivée iv'(«„) finie et différente de zéro. 



On voit maintenant facilement que la fonction "[/(.r)] est régulière pour toutes 

 les valeurs de | c | ;= i et que son module e^l pins petit que l'unité. Comme on a d'ail- 

 leurs (i-[/(o)] = (v(rt„) = o, la fonction — '—— — - sera également régulière ])our les 



mêmes valeurs de .r et, le maximum de 



"•[./(.'•)! 



n'élant atteint que sur la circon- 



férence pour laquelle | a- | =: i et [ (r/(,r) | .ï i , on pourra poser d'une façon générale 

 (2) \H'[/{a:)]\<\.v\. 



On tire de cette dernière inégalité 



</o 



i/jc 



= \iV {«o)«l 



et, par suite, 



(3) 



"■'(«„) 



Soit c'(j:) la fonction inverse de ir(j'); la fonction r( — — U e > o satisfait à toutes 

 les conditions imposées à /{x). La dérivée de cette dernière fonction pour x r= o est 

 d'ailleurs égale à- ^ — — -, d'où l'on conclut que la limite (3) est vraiment la 



(I + O"''(«o)' 

 limite supérieure de | a^ |. 



La condition que nous avions imposée à «„ d'êli'e différent de c<, fi, y peut être levée. 

 Soit, par exemple, a,r=c<; la série (() prendra alors la forme 



)' = 2 -H «,,, X" 



et l'on aura, en suivant une marche analogue à celle du cas général 



,.^5( I m'" „■"!('«-)) „/'« I 



Les valeurs particulières a = o, p = i, y = xi, ;n = /2=/> = 30 nous 

 ramènent au problème étudié par M. Landau. Dans ce cas, /(.x) devra 



(') Gesammelte Abhandlungen, t. Il, \).i\ i. — Cf. Fic.vrd, Cours d'Analyse, t. 111, 

 Ghap. XUL 



