I2l8 • ACADÉMIE DES SCIENCES, 



une infinité d'intégrales d'une autre équation 



s, -+- V(x, V, -,, p,-Ç,) = '1 



et réciproquement. On obtient sans difficulté cette dernière équation en 

 résolvant le système (i) par rapport à ^ et ^ et en écrivant que les expres- 

 sions trouvées satisfont à la condition d'intégrabilité, mais F(.r,v, -,,/>,,(/,) 

 ne laisse pas d'avoir une forme assez compliquée. 



On peut disposer des fonctions oc, (3, >,, ;;., M, N de (elle sorte que (2) se 

 réduise à une équation linéaire. Si la transformation considérée est définie 

 par les équations 



-p, + ■2zp:., = e 



K^, y) 



2 dr dy 



>(oc,r) 



H(x, y) et iù(x, y) satisfaisant à la condition 



* '^.)^-o.(a-,v)e'<-^^^^S 



(3) 



Oy 



f,-m, y) 





'^^'^'•'') l-^i:['^(^'J')e^-'M = o. 



l'équation (2) s'écrit 



I 6/0 . 



Jusqu'ici je n'ai pas pu obtenir sans aucun signe de quadrature les 

 expressions de toutes les fonctions de x et de y qui satisfont à l'égalité (3), 

 mais on aperçoit aisément des classes assez étendues d'équations linéaires 

 auxquelles s'applique la transformation précédente. En |)articulier, on 

 peut supposer H(x, y) nulle, (ù(x, y) étant une fonction de la seule 

 variable .r -h y. La transformation 



z'p, + -izpz, = f - (o(.r -h y)z\ 

 z'-q^ + -izqz^ = q- — w(.r + y)z- 



permet alors de passer de l'équation à invariants égaux 



(4) s + co(.a7 + y)z = o 



