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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions ayant un nombre fini de 

 branches. Noie de M. (jeorges Rémouxdos, présentée par Àl. Jordan. 



1. Appelons algèbroïde toute fonction avant un nombre fini de branches 

 dans toat le plan. 



Je suis arrivé à étendre à ces fonctions les propriétés fondamentales de 

 la croissance des fonctions entières. Je me borne, pour fixer les idées, aux 

 algébroïdes entières, c'est-à-dire finies à distance finie. J'ai obtenu les 

 théorèmes suivants : 



I. Toutes les branches d'une fonction algèbroïde a (s) satisfont à l'iné- 

 galité 



(i) Max I a (a:-) I <?'■''*' pour | s | = r, 



j5 désignant l'ordre de la fonction algèbroïde. 



Nous appelons ordre d'une algèbroïde donnée par l'équation 



«"+ A,(z)f<"-' +.. .+ A,_,(r.)f/ + \,{z) = G 



le plus grand des ordres des coefficients A,(3) (voir Bull, de la Société ma- 

 thématique de France, 1904, fasc. 1 : Sur les zéros d'une classe de fonctions 

 transcendantes ) . 



II. Pour une infinité de valeurs de r croissantes indéfiniment, une, aii 

 moins, des branches satisfait à l'inégalité 



(2) Max|'a(z)j>e'"'". 



D'une façon plus précise : il y a des arcs de la circonférence de rayon r 

 (^pour une infinité de valeurs de r) dont les points satisfont à l'inégalité 



(3) \^{^)\>e^'" 



et dont l'étendue est supérieure à une puissance finie de r. 



C'est une conséquence d'une propriété analogue des transcendantes 

 entières démontrée dans ma Thèse ^Sur les zéros d'une classe de fonctions 

 transcendantes (Gauthier- Villars) et Annales de la Faculté des Sciences de 

 Toulouse^. 



III. Si , nous appelons Ue l'ensemble des points de la circonférence de 



