SÉANCE DU l6 OCTOBRE 190,^. 619 



rayon r, pour lesquels une au moins des branches satisfait à l'inégalité (3), 

 et par E^ l'ensemble des points pour lesquels un au moins des coeffi- 

 cients A,(3) satisfait à l'inégalité 



nous avons le théorème suivant : 



Tout point de Ug appartient à E^ (e, ^ e). 



Tout point de E^ appartient à 0^, (e. ]> ^ )■ 



IV. Toutes les branches de l'algébroïde a(z) satisfont à l'inégalité 



(4) \a{z)\>e-^'^\ 



pour une infinité de valeurs de r croissant indéfiniment. 

 D'une façon plus précise : 

 Si l'on exclut du cercle de rayon r certains arcs, dont la longueur totale tend 



vers zéro avec -, comme e^""^ (a étant un nombre positi f quelconque et inférieur 



à e), tous les autres points satisfont à l'inégalité (4) et cela pour toutes les 

 branches de a(^z). 



2. Les résultats bien connus de M. Bore! sur la croissance de la dérivée 

 s'étendent très aisément aux fonctions algébroïdes. 



Pour les fonctions algébroïdes d'ordre mfini nous établissons des théo- 

 rèmes analogues aux précédents en nous appuyant sur les résultats de 

 M. Bore! précisés par M. A. Kraft [voir E. Borel, Sur les zéros des fonctions 

 entières ( Acta mathemalica, t. XX) et A. Rkmt, Inaugural-dissertation (J^ôt.-: 

 tingen, ir)o3)J. 



Une conséquence immédiate des résultats précédents est l'.extension aux 

 fonctions algébroïdes du théorème fondamental de M. Borel, qui a servi de 

 base dans nos travaux antérieurs. Nous obtenons donc le théorème 

 suivant : 



V. Une identité telle que 



(5) '«,(>)e"''--'4-a,(;)e«''^'+... ^ a„(2;)e«"'=' = Q 



entraine la nullité de tous les coefficients Uj^z), si Ips fiiiz) désignent fies algé- 

 broïdes croissant moins vite que e'^''' et les n,(=) (') des algébroïdes croissant 

 plus vite que [l-»- (/■)]'"*, a étant un nombre positif quelconque. 



(') D'uuc façon plus précise, les diflFéi'eQces H,(;) — H/;(;) [«;/= /.J. 



