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Quand je dis qu'une algébroïde croit plus vite ou moins vite qu'une cer- 

 taine fonction croissante, j'entends pa.v là qu'il en est ainsi du plus grand 

 des modules maximums de ses diverses branches. 



3. Cela posé, considérons une algéhroïde a(z) et un nombre a excep- 

 tionnel au sens ordinaire du mot; alors la fonction a(:;) — a n'admet 

 qu'un nombre fini de zéros. S'il en est de même des infinis de a( = ), il y 

 aura une fonction algébrique q(z) telle que l'on ait 



B.(z) étant une fonction toujours finie à distance finie. 



Je démontre que, en général, la fonction H (2) a un nombre infini de 

 branches. S'il n'en est pas ainsi, le nombre a doit être considéré comme 

 exceptionnel parmi les nombres exceptionnels usuels, grâce au théorème 

 suivant : 



Théorème. — // n'y a pas deux nombres a, et a.^ tels que l'on ait 



a{z)-a, =^,(z)e»''^', a(s) — a, = q,(z) e""'"', 



q, (z) et q., (z ) désignant des fonctions algébriques etU, {z), U., (z) des afgé- 

 broides finies à distance finie ('). 



Ce cas d'exception est donc unique, comme pour les transcendantes en- 

 tières ou méromorphes, et le nombre correspondant sera appelé û?OM6/e/^2e«f 

 exceptionnel Ç^). Nous voyons que le nombre des branches de l'algébroïde 

 ne joue aucun rôle dans la limitation de ces nombres. Notre dernier théo- 

 rème peut prendre la forme : 



// est impossible d'avoir deux nombres finis doublement exceptionnels, quelle 

 que soit la transcendante algébroïde considérée. 



Je me propose de faire connaître prochainement une application à la 

 théorie des équations différentielles du premier ordre. 



(') Ce théorème est une conséquence d'un cas particulier du théorème V. 



(') Par contre, le nombre des valeurs simplement exceptionnelles dépend du nombre 

 des branches v et peut atteindre 2v. Voir : Bulletin de la Société mathématique de 

 France, 190:4, fasc. I, et mes Communications à l'Académie (20 avril 1908, 

 20 juin 1904). 



