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Or , en général , si l'on connoissoit ces deux équations , on en tireroit la valeur de 

 Z en fonction de l'arc s , et cette valeur étant substituée dans l'équation précédente , 

 la réduiroit à ne contenir que les deux variables s et t. 



D'où l'on doit conclure que la condition du tautochronisme se réduira toujours à 

 établir entre z et s une relation telle que la valeur de t, déduite de l'équation (i) et 

 pris depuis le point le plus bas de la courbe où s = o, soit indépendante de l'arc total 

 parcouru, c'est-à-dire de la valeur de s à la seconde limite des intégrales. 



Ainsi , dans tous les cas , et quelle que soit la résistance du milieu , la condition du 

 tautochronisme se réduira à une seule équation, de la forme 



s~<? (z) 



ïl en seroit de même si le mobile , au lieu d'être animé par une force accélératrice 

 constante , étoit soumis à une force variable avec l'arc s et la hauteur z ; car il est 

 aisé de voir qu'en substituant dans l'équation du mouvement un terme de la forme 

 •ty (s,zl, Sa au lieu de g«z; $<» n'étant pareillement fonction que de s et de z, l'é- 

 quation qui, dans cette circonstance, répondroit à l'équation ( i ) ne contiendroit pa- 

 reillement que les variables z , s et t. 



La relation que nous venons de trouver pour le tautochronisme , donne , en passant 

 aux différentielles 



ds= <p' (z) àz ; 



et en élevant au quarré et éliminant d s , 



dx I -+-dj 1 =:(^' î (z)— i) dz* (2) 



Cette équation ne suffisant pas à elle seule pour déterminer les deux projections de la 

 courbe cherchée , il s'ensuit , crue toutes les jbis que le tautochronisme est possible , il 

 y a une infinité de tautochrones. 



L'équation (2) ne satisfaisant pas aux conditions d'intégrabilité, n'appartient pas à 

 une surface, quelle que soit d'ailleurs la forme de la fonction <p ; ainsi, on ne peut, 

 dans aucune toi de résistance, comprendre toutes les tautochrones sur une même surface, 



Si l'on se donne à volonté , entre x y z, une relation 



u = o , 



on pourra s'en servir pour éliminer une des variables de l'équation (2) ; alors celle-ci , 

 réduite à deux variables, deviendra toujours possible, et donnera la seconde équation 

 de la courbe. 



Ainsi , clans toutes les lois de résistance où le tautochi'onisme est possible. , on peut 

 tracer une tautochrone sur une surface quelconque. 



Quoique les diverses tautochrones ne puissent pas être réunies sur une même surface , 

 on peut cependant les construire par un procédé commun , qui montre clairement ]es 

 rapports qu'elles ont les unes avec les autres. Pour développer ceci , reprenons l'équation (2), 

 qui est 



dz l -f-dj i = (<p' 1 ^)— 1) dz* (a) 



Quelle que soit l'équation de la surface donnée , on peut enlr'elie et la précédente con- 

 cevoir z éliminé , et le résultat représentera la projection de la tautochrone sur le plan 

 des xy; ainsi, se donner l'équation de la surface, équivaut à prendre arbitrairement 

 cette projection. Or , si l'on fait 



dx* -h dy 2 = dr* 

 dr représentera l'élément de l'arc de cette même projection, et l'équation (1) deviendra 



dr 2 = («p' î z — i) dz* (3) 



